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1、-毕业论文题 目一阶微分方程的matlab数值解法学 院数学科学学院专 业数学与应用数学班 级数学1303班 学 生邹健峰学 号7指导教师邢顺来讲师二一七年五月七日. z.-摘 要微分方程的数值解法是近现代数学家和科学家们研究的热点，微分方程的MATLAB数值解法可以帮助我们解决现实生活中的许多数学问题，提高计算机帮助我们解决问题的效率。本文主要讨论研究一阶微分方程的MATLAB数值解法中的三种Euler法和三种Runge-Kutta法，介绍以上六种方法的主要容，简单介绍了MATLAB的相关容和微分方程的开展简史。通过具体的微分方程来研究以上算法的编程实现，通过MATBLAB求解具体的一阶微分
2、方程来探究以上方法的优缺点，通过图表来分析得出结论：改进Euler法和四阶Runge-Kutta法的阶的精度较高，具有较好的算法稳定性。关键词：一阶微分方程；数值解法；MATLAB；Euler法；Runge-Kutta法ABSTRACTThe numerical solution of differential equations is a hot spot for modern mathematicians and scientists,the MATLAB numerical solution of the differential equation can help us solve m
3、any mathematical problems in real life,improve the efficiency of the puter to help us solve the problem.This paper mainly discusses three kinds of Euler methods and three Runge-Kutta methods in MATLAB numerical solution of first order differential equation,introduce the main contents of the above si
4、* methods, a brief introduction to the development of MATLAB related content and differential equations of a brief history.The programming of the above algorithm is studied by the concrete differential equation,he advantages and disadvantages of the above methods are e*plored through MATBLAB solving
5、 the specific first-order differential equation,through the chart to analyze the conclusions:The improved Euler method and the fourth order Runge-Kutta method have higher accuracy，has good algorithm stability.Keywords：First Order Differential Equation; Numerical Solution; MATLAB; Euler Method; Runge
6、-Kutta Method目录摘要IABSTRACTII1 前言11.1 引言11.2常微分方程的开展简史21.3 国外研究现状21.4 研究主要容及研究方案31.4.1 研究的主要容3 研究方案31.5 研究难点32 预备知识42.1显式Euler法42.2隐式Euler法52.3改进Euler法52.4二阶Runge-Kutta法62.5三阶Runge-Kutta法72.6四阶Runge-Kutta法72.7单步法的收敛性和稳定性93 微分方程数值解法的编程实现113.1 常微分方程的符号解法113.2显式Euler法的编程实现123.3隐式Euler法的编程实现143.4改进Euler法
7、的编程实现173.5二阶Runge-Kutta法的编程实现203.6三阶Runge-Kutta法的编程实现223.7四阶Runge-Kutta法的编程实现24结论29参考文献30致31附录32. z.-1前言1.1引言James Bernoulli在1676年写给Newton的信中首次谈到了微分方程。大约到了十八世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科，微分方程是研究和提醒自然规律不可或缺的重要工具。众所周知，在1846年数学家和天文学家共同发现的海王星就是微分方程的功绩。还有在1991年，科学考察队在Alps山脉发现了一个冰封保存完好的人类，然后通过仪器测得碳元素衰变的速率，建立微分方程数学模
8、型，得出了这个人是生活在距今5000多年前的时代。Newton、Leibniz、Bernoulli family、Lagrange、Laplace等著名数学家们都对微分方程的开展做出了巨大的奉献。微分方程的定义：如果知道自变量、未知函数以及函数的导数或微分组成的关系式我们就称为微分方程。常微分方程的定义：通过求解微分方程得出未知函数，并且自变量只有一个的微分方程我们就叫做常微分方程，自变量个数为两个或者两个以上的微分方程称为偏微分方程1。我们把含有n个互不相等的任意常数的解称为n阶常微分方程的通解。微分方程的特解是指满足微分方程初值条件的解1。我们在生活中会经常用到一些常微分方程模型，例如英国
9、著名人口统计学家Malthus提出的著名的Malthus人口模型；荷兰著名生物学家Verhulst提出的logistic人口增长模型；传染病模型SI模型、SIS模型无免疫性、SIR强免疫性模型；两生物种群生态模型；气象学家Lorenz提出的Lorenz方程用来预测天气变化；化学动力学模型2。可见微分方程与我们的生活有着密不可分的关系。MATLAB是分别取了Matri*和Laboratory两个单词的前三个字母组成的,是矩阵实验室的名称缩写。MATLAB是来自美国大学的计算机教师Cleve Moler创造的，并且由Cleve Moler和JohnLillte把其推向了市场，并得到了广阔用户的喜爱
10、。MATLAB是数学科学和工程科学的高级计算机语言，用户可以用数学语言来编写程序，编程逻辑非常类似人们日常书写数学公式的逻辑，具有简单性、广泛性、开放性、效率高、价格低等特点。并且MATLAB工具箱储存的MATLAB函数库里面有大量的函数程序，可以解决许多的数学和工程科学问题。从2010版开场MATLAB的功能越来越多，编译器可以把M文件转换为C语言文件或者其他几种常用的计算机文件，并给用户提供源程序代码进展自我开发，结合Math Works公司提供的数据库，用户可以利用MATLAB来开发出功能强大的程序3,4,5。微分方程的MATLAB数值解法可以帮助我们解决许多现实生活中的数学问题，提高计
11、算机帮助我们解决问题的效率，如今微分方程的MATLAB数值解法已经开展得比较成熟，有许多关于数学领域的MATLAB书籍可供我们选择阅读，很好的解决了我们的学习需求和使用问题。MATLAB应用领域也非常广泛，比方在数学建模和数学实验领域，我们可以通过直接调用MATLAB里面的微分方程函数文件，在操作界面输入初始数据，还把抽象复杂的数学问题变成简单形象的二维或者三维图形，来帮助我们分析问题，找出解题方法，从而解决我们生活中负责的数学问题，表达了数学源自生活又联系生活的主要特征。除此之外，在物理学、工程科学等科学领域中MATLAB也具有重要地位6,7。1.2常微分方程的开展简史常微分方程的开展可以简
12、单的分为以下几个阶段：“求通解阶段；“求定解阶段；“求所有解阶段；“求特殊解阶段。在常微分方程的“求通解阶段，人们希望能够用初等函数来表示解，Newton就希望能够用别离变量法来求解一阶微分方程问题，但Euler却尝试用积分因子来求解一阶微分方程问题。而Bernoulli在研究微分方程的过程中提出了著名的Bernoulli方程，Riccati也在研究过程中提出了Riccati方程，他们的发现对微分方程未来的开展打下了根底，起到了积极的作用。直到Liouville证明了Riccati方程没有一般的初等解，还有Cauchy提出了微分方程的初值问题，常微分方程进入了“求定解阶段。直到19世纪末，由于
13、天体力学的研究需求，常微分方程从“求定解阶段进入了“求所有解的阶段。首先是Poincar提出了定性理论，接着是Hilbert提出了关于极限环个数的问题，促进了微分方程定性理论的开展，紧接着Lyapunov提出了运动稳定性理论，广泛应用在物理和工程学中。而在动力系统方面，Birkhoff、Arnold、Smale都做出了奉献。到了20世纪70年代计算机技术的开展带动了常微分方程的开展，从“求所有解阶段进入到了“求特定解阶段，发现了一些特定解和方程，比方混沌解、孤立子、奇异吸引子、分形。关于常微分方程的研究还在继续，如今研究的领域更加广泛，更多的微分方程模型被提出和应用起来了1,8,9,10。 1
14、.3国外研究现状关于微分方程数值解法的研究，在没有MATLAB以及类似的计算机软件问世之前，数学家和科学家们只能研究和解决一些低阶的微分方程问题，并且有些方程的解题过程过于繁琐和复杂。但是MATLAB的出现促进了数学科学研究的开展，对数学和相关领域的开展做出了巨大奉献。微分方程的MATLAB数值解法也迅速开展起来，国外现在主要研究通过MATLAB等计算机软件来研究：一些高阶微分方程的解的有关问题；一些复杂的微分方程是否存在定解问题；利用MATLAB来计算一些著名的数学模型问题，比方Volterra被捕食 捕食模型、竞争模型、共生模型、商品供需模型等等；研究混沌解、孤立子。在以上几方面的研究上都
15、取得了不小的进步，使常微分方程的体系更加的完善了。在国，2009年中国数学会成功举办了第四届全国青年常微分方程学术会议，许多国知名学者和学术研究者都到场参加学术交流，这一项活动促进了我国常微分方程领域的开展，为青年学者提供了珍贵经历，这次会议也受到了国外数学爱好者的高度关注。在书籍方面，我国也发行了许多关于微分方程数值分析和微分方程数值解法方面的书籍，都有详细介绍微分方程关于MATLAB的数值解法，比方林成森编著的第二版?数值计算方法?里面就有详细介绍常微分方程初值问题的数值解法，包括有：离散变量法和离散误差法；单步法；单步法的相容性、收敛性和稳定性；多步法；差分方程的简介；线性步法的相容性、收敛性和数值稳定性；常微分方程组和高阶微分方程的数值解法等几个方面，成为了21世纪高等院校的教材。周品、何正风等编著的?MATLAB数值分析?作为了理工科各专业本科生、研究生以及应用MATLAB相关科技人员学习MATLAB数值分析、建模、仿真的教材或者参考书。现
