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1、海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学（理） 2015.4 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）设集合，则（ ）（A）（B）（C）（D）（2）抛物线上的点到其焦点的最短距离为（ ）（A）4（B）2（C）1（D）（3）已知向量与向量的夹角为，则（ ）（A）（B）（C）（D）（4）“”是“角是第一象限的角”的（ ） （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）圆
2、（为参数）被直线截得的劣弧长为（ ）（A）（B）（C）（D）（6）若满足则下列不等式恒成立的是（ ）（A）（B）（C）（D）（7）某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（ ）（A）（B）（C）（D）（8）某地区在六年内第年的生产总值（单位：亿元）与之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是（ ）（A）第一年到第三年（B）第二年到第四年（C）第三年到第五年（D）第四年到第六年二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知，其中是虚数单位，那么实数= . （10）执行如图所示的程序框图，输出的值为_ （11）已知是等差数列，那么=_；的最大值为_（1
3、2）在中，若，则的大小为 . （13）社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，小红必须与2位老人都相邻，且两位老人不排在两端，则不同的排法种数是 . （用数字作答）（14）设若存在实数，使得函数有两个零点，则的取值范围是 . 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（15）（本小题满分13分）已知函数. （）求的最小正周期及其图象的对称轴方程；（）求的单调递减区间. （16）（本小题满分13分）某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按 0，10，（10，20，（20，30，（30，40，（
4、40，50分组，得到频率分布直方图如下： 假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立（）写出频率分布直方图（甲）中的的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，试比较与的大小；（只需写出结论）（）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率； （）设表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求的数学期望 （17）（本小题满分14分）如图1，在直角梯形中，四边形是正方形. 将正方形沿折起到四边形的位置，使平面平面，为的中点，如图2.（）求证：；（）求与平面所成角的正弦值； （）判断直线与的
5、位置关系，并说明理由图1图2 （18）（本小题满分13分）已知函数. （）求函数的单调区间；（）若（其中），求的取值范围，并说明.（19）（本小题满分13分）已知椭圆过点，且离心率.（）求椭圆的方程；（）是否存在菱形，同时满足下列三个条件：点在直线上；点，在椭圆上；直线的斜率等于.如果存在，求出点坐标；如果不存在，说明理由.（20）（本小题满分14分）有限数列同时满足下列两个条件： 对于任意的（），； 对于任意的（），三个数中至少有一个数是数列中的项.（）若，且，求的值；（）证明：不可能是数列中的项；（）求的最大值.海淀区高三年级第二学期期中练习 数学（理）答案及评分参考 2015.4一、选择
6、题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）B （5）A （6）D （7）C （8）A二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9） （10） （11） （12）或 （13） （14）三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（）因为 2分 . 所以 . 4分令，得：. 6分所以 的最小正周期为，对称轴的方程为.（）. 9分 令， 得：. 所以 的单调递减区间为. 13分（16）（共13分）解：（）； 2分. 4分（）设事件：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件：在未来的某一天里，乙种酸奶的
7、销售量不高于20箱；事件：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱. 则，. 6分所以 . 8分 （）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3. 9分， ，. 所以的分布列为01230.3430.4410.1890.027 11分所以 的数学期望.13分另解：由题意可知.所以 的数学期望. 13分（17）（共14分）证明：（）证明：因为 四边形为正方形， 所以 . 因为 平面平面，平面平面，平面， 所以 平面. 2分 因为 平面， 所以 . 4分（）解：如图，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则. 所以 ，. 6分 设
8、平面的一个法向量为. 由得令，得，所以 . 8分设与平面所成角为，则.所以 与平面所成角的正弦值为. 10分（）解：直线与直线平行. 理由如下： 11分由题意得，.所以 . 所以 . 13分因为 ，不重合，所以 . 14分另解：直线与直线平行. 理由如下：取的中点，的中点，连接，.所以 且.因为 为的中点，四边形是正方形，所以 且.所以 且.所以 为平行四边形.所以 且.因为 四边形为梯形，所以 且.所以 四边形为平行四边形.所以 且.所以 且.所以 是平行四边形.所以 ，即. 14分（18）（共13分）解：（）. 2分（）当时，则函数的单调递减区间是. 3分（）当时，令，得. 当变化时，,的
9、变化情况如下表极小值所以 的单调递减区间是，单调递增区间是. 5分（）由（）知：当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意. 6分当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使，必须，即.所以 . 7分当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以 当时，.所以 . 9分因为 ，所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为. 11分因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 .综上所述，的取值范围是. 12分因为 ，所以 . 13分（19）（共13分）解：（）由题意得： 3分解得：所以 椭圆的方程为. 4分（）不存在满足题意的菱形，理由如下： 5分假设存在满足题意的菱形.设直线的方程为，线段的中点，点. 6分由得. 8分由
