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1、重庆市第一中学2020学年高二数学下学期第一次月考试题 理第卷一、选择题（大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）A假设三内角都不大于60度 B假设三内角都大于60度C假设三内角至多有一个大于60度 D假设三内角至多有两个大于60度3.满足方程的的值为（ ）A1，3 B3，5 C1，3，5 D1，3，5，-7 4.已知，则可表示不同的值的个数为（ ）A2 B4 C8
2、D155.老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”； 乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”； 丁说：“我没考好”.结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中_两人说对了. （ ）A甲 丙 B乙 丁 C丙 丁 D乙 丙6.用数学归纳法证明过程中：假设时，不等式成立，则需证当时，也成立，则（ ）A BC D7.如图所示，椭圆中心在坐标原点，为左焦点，当，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比黄金椭圆，可推算出黄金双曲线的离心率等于（ ）A B C D8.如图为我国数学家赵爽（约3世
3、纪初）在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）种A120 B260 C340 D4209.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成，第行有个数且两端的数均为，每个数是它的下一行左右相邻两数的和，如：，则第10行第3个数（从左往右数）为（ ）A B C D10.某省运动队从5名男乒乓球运动员和3名女乒乓球运动员中各选出两名，进行一场男女混合双打表演赛，对阵双方各有一名男运动员和一名女运动员，则不同的分组方法有（ ）A60种 B90种 C120种 D180种11
4、.如图，已知抛物线，圆：，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（ ）A34 B37 C42 D5112.已知，若存在，使得，则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围是（ ）A B C D第卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知为虚数单位，复数满足，则 14.若的二项展开式中的系数为，则 15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为 16.校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有 种（用数
5、学作答）三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知数列满足：，且.（1）求，的值，并猜想的通项公式；（2）试用数学归纳法证明上述猜想.18.如图所示，直三棱柱中，点在线段上.（1）若是中点，证明：平面；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.19.已知函数在处的切线方程为.（1）求实数，的值；（2）若函数在区间上有最值，求实数的取值范围.20.如图所示，四棱锥，侧面是边长为2的正三角形，且平面平面，底面是菱形，且，为棱上的动点，且.（1）求证：；（2）试确定的值，使得二面角的余弦值为.21.已知椭圆：的离心率为，依次连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积
6、为4.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，设与面积之比为（其中为坐标原点），当时，求实数的取值范围.22.已知函数，.（1）求证：对，函数与存在相同的增区间；（2）若对任意的，都有成立，求正整数的最大值.2020年重庆一中高2020级高二下学期定时练习数学答案（理科）一、选择题1-5: CBADD 6-10: CBDCA 11、12：CB二、填空题13. 14. 2 15. 16. 528三、解答题17.（1）由递推公式可得，可猜想.（2）下面用数学归纳法证明猜想成立.当时，猜想显然成立；假设时猜想成立，即，则时，由可得，即：当时，猜想也成立，由可知，当时，.18.（1
7、）连接交于，连接，为中点，为中点，则.又平面，而平面，故平面.（2）分别以，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，设平面法向量为，则，令，则，设直线与平面所成角为，则.19.（1），在处的切线方程为，即：.（2），则，令，则（舍）或，在上有最值，即的取值范围为.20.（1）取的中点，连结，由题意可得，均为正三角形，所以，又，所以平面，又平面，所以.因为，所以.（2）由（1）可知，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.故可得，两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，由，可得点的坐标为，所以，设平面的一个法向量为，由，可得，令，则，又平面的一个法向量为，由题意得
8、，解得或（舍去），所以当时，二面角的余弦值为.21.（1）椭圆的离心率为，且依次连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4，即椭圆方程为.（2）由题意得设直线方程为，其中，代入椭圆方程得：，则有，从而有，由可得，由得.又，因，故，又，从而有，得，解得或.22.（1），所以在为增函数，在为减函数，由，当时，恒成立，则在上单调递增，所以命题成立，当时，在为减函数，在为增函数，设得，令得，在为减函数，在为增函数，且，所以，同理，所以，所以与存在相同的增区间.综上：命题成立.（2）证明：对任意的，都有，则，则，所以，则，由（1）可知，所以有：恒成立.设，则，且，由，所以在上有唯一实数根，且，当时为减函数，当时为增函数，所以，所以，且是正整数，所以，所以的最大值为4.
