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1、wordSARS传播的数学模型(轩辕杰整理)摘要本文分析了题目所提供的早期SARS传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情开展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进展预测，后期预测结果不够准确；第三，模型的参数L、K的设定缺乏依据，具有一定的主观性.针对早期模型的不足，在系统分析了SARS的传播机理后，把SARS的传播过程划分为：征兆期，爆发期，顶峰期和衰退期4个阶段.将每个阶段影响SARS传播的因素参数化，在传染病SIR模型的根底上，改良得到SARS传播模型.采用离散化的方法对本模型求数值解得到：SARS疫情的预测持续时
2、间为106天，预测SARS患者累计2514人，与实际情况比拟吻合.应用SARS传播模型，对隔离时间与隔离措施强度的效果进展分析，得出结论：“早发现，早隔离能有效减少累计患病人数；“严格隔离能有效缩短疫情持续时间.在建立模型的过程中发现，需要认清SARS传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难.本文分析了海外来京旅游人数受SARS的影响，建立时间序列半参数回归模型进展了预测，估算出SARS会对入境旅游业造成23.22亿元人民币损失，并预计海外旅游人数在10月以前能恢复正常.最后给当地报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的
3、重要性. / 1问题的重述SARS严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有很高的重要性.现需要做以下工作：（1） 对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性.（2） 建立自己的模型，说明优于早期模型的原因；说明怎样才能建立一个真正能够预测以与能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后5天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播的影响.（3） 根据题目提供的数据建立相应的数学模型，预测SARS对社会经济的影响.（4） 给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染
4、病数学模型的重要性.2早期模型的分析与评价题目要求建立SARS的传播模型，整个工作的关键是建立真正能够预测以与能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求评价一个模型的合理性和实用性，首先需要明确：合理性定义 要求模型的建立有根据，预测结果切合实际. 实用性定义 要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际.所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息；实用的模型能为预防和控制提供足够的信息.早期模型是一个SARS疫情分析与疫情走势预测的模型， 该模型假定初始时刻的病例数为，平均每病人每天可传染K个人K一般为小数，KK值从开始到顶峰期间保持不变，顶峰期后 10天的围K
5、值逐步被调整到比拟小的值，然后又保持不变.平均每个病人可以直接感染他人的时间为LLL天之，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是：考虑传染期限L的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢.采用半模拟循环计算的方法，把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉.早期模型合理性评价根据早期模型对疫情的分析与预测，其先将的病例起点定在3月1日，经过大约59天在4月29日左右达到顶峰，然后通过拟合起点和4月20日以后的数据定出顶峰期以前的K.顶峰期后的K值按某某情况变化，即10天围K值逐步被调整到0.0273.L恒为20.由此画出3月1日至5月7日疫情开展趋势拟合图像以与5月7日以后的疫情开展
6、趋势预测图像，如图1. 图1 早期模型计算值与实际值比照图从图1可以看出，从 4月20日至5月7日模型计算值与同期实际值的拟合程度比拟好，但5月7日后模型计算值即预测值随着日期的增长逐渐偏离实际值.为了进一步验证上述分析，对模型计算值曲线和实际值进展残差分析，记表示第i天实际累计病例，其中，用作为的估计：做出标准化残差的分布图，如图2：图2 早期模型的标准化残差分布图可以很明显地看出，在后期，残差图上出现明显的单减规律性，预测值高于实际值，说明预测值确实逐渐偏离实际值.通过以上分析得合理性评价：从预测准确度上有失合理性，虽然早期模型在拟合前期疫情时拟合程度较好，但对后期情况的预测出现较大偏差.
7、尽管预测准确程度不高，但是该模型确实预测出了整个疫情的开展趋势.从这一点上看，该模型还是切合实际的.实际代表的是时刻全社会的累计SARS患者，而公布数据仅为同期的累计确诊SARS患者，显然前者是大于或等于后者的.如果把公布数据当成实际数据处理，这必然导致模型解出现偏差，且解的实际意义不明确.对于这一点，我们将在建立自己的模型时重点关注！模型的实用性关注的是模型能否真实全面的模拟真实情况，从而用模型指导实际.这里主要抓住早期模型的参数设置情况进展实用性评价：该模型简单地以顶峰期作为分析的临界点，这似乎对SARS开展的阶段没有了解透彻.同时，模型没有提出顶峰期确实定方法，整个模型的建立必须有实际顶
8、峰期附近数据的支撑.如果仅有疫情爆发初期的数据，该模型就无法预测出疫情中后期开展的趋势，模型的实际应用围受到限制.参数K代表某种社会环境下一个病人每天传染他人的人数，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.在初期，该模型将K固定在一个比拟高的定值，在疫情顶峰期过后，在10天逐步调整KK值的具体算法，只是不断地进展人工调整，具有一定的主观性.同时沿用了某某疫情分析中的数据来预测的情况，可见该模型未对的实际情况进展充分的考虑.参数LL的值固定为20，而实际的L应该随疫情开展趋势变化而变化，固定L势必使模型只能片面模拟真实情况.综上，早期模型的一局部分析脱离了实际，而且在整个模型的建立和求
9、解中人工干预过多，实际应用围受到了限制，实用性不强.3 SARS传播过程的分析由于早期模型缺少对SARS传播过程的系统分析，所以，要建立真正能预测病情开展的模型，应该首先对整个传播过程有一个全面而详尽的分析.SARS的传播大致经历了4个过程，相关描述可按照Kink于1986年提出的危机“四阶段说.第一阶段是征兆期.在SARS传播初期，由于SARS感染者需要经历一定时间才表现出临床症状，所以在病毒实际上已经广泛传播的情况下，政府和公众并未引起注意.在这个时期，携带病毒的传播源没受到控制，平均传播期长，但整个社会的发病率还较低.第二阶段是迅速爆发期和蔓延期.当公众发现感染者不断增加时，恐慌情绪增加
10、，政府随即采取多种措施，但由于对病毒传播的特点不清楚，并未收到预期效果.在这个时期，传播源的平均传播期依然较长，整个社会的发病率突然猛增.第三个阶段是顶峰期.当高强度的措施实施后，病毒扩散速度实际已经被控制，发病人数保持稳定，处在一个高平台阶段.在这个时期，有效隔离措施的产生，大大缩短了平均传染期，但由于病患基数较大，社会发病率依然很高.第四个阶段是衰退期和有效控制期.在高平台现象一段时间以后，控制措施的作用开始显现，患病人数开始下降，进入控制时期.在这个时期，平均感染期最短，社会发病率低.疫情进入了4个阶段的最后时期.有了以上的分析，建立的模型就应该表现4个不同时期下疫情的开展过程，并能够在
11、此根底上准确预测疫情变化情况，提出切实可行的控制措施.考虑在经典传染病SIR模型根底上，通过机理分析，参加合理的实际因素，建立适合SARS的分段微分方程模型，称为SARS传播的SIR改良模型.4 SARS传播的SIR改良模型模型的假设1 SARS的持续期不太长，可以忽略在SARS持续期的城市人口的自然出生率和自然死亡率.2 被SARS感染后经治疗康复的人群在SARS流行期不会被再次感染.3 病人被严格隔离、治愈或者死亡后，不再有感染作用.4 不考虑人口的流动，仅仅在一个城市围研究SARS疫情的开展过程.模型的符号定义:易感类人群占城市人口总数的比例.:传染类人群占城市人口总数的比例.:排除类人
12、群占城市人口总数的比例.:SARS患者的就诊率：单位时间一个传染者与他人的接触率.：平均传染期.传播机理分析针对早期模型的不足，需要在模型的合理性和实用性方面进展改良.考虑在经典传染病模型SIR的根底上，通过机理分析，用实际因素来描述SARS的传播过程.为了简化模型，这里不考虑人口的流动带来的影响，仅仅在一个封闭城市中研究SARS的传播机理.那么，整个社会人群可以分为3类：S类：称为易感类，该类成员没有染上传染病，但缺乏免疫能力，可以被染上传染病.I类：称为传染类，该类成员已经染上传染病，而且可以传染给S类成员.R类：称为排除类或恢复类，R类成员或者是I类成员被严格隔离、治愈，或者死亡等.I类
13、成员转化为R类后，立刻失去传染能力.S(t)、I(t)、R(t)分别表示t时刻上述3类成员占城市人口总数的比例.对于传播过程有3条根本假设：人口总数为常数N，N足够大，可以把变量S(t)、I(t)、R(t)视为连续变量，还可进一步假定为连续可微变量.，如此一个传播者在单位时间与S类成员的接触率为，因此，单位时间I类成员与S类成员的接触总数为，这就是单位时间I类成员增加的数量，称为发病率，它是S(t)和I(t)的双线性函数.：传播者的被控制数正比于传染者的数量，比例系数为，称为被控制率，如此平均传染期为.为一个传染者在其传播期与其他成员的接触总数，称为接触数.那么SARS的传播流程如图3：图3
14、SARS传播流程图在这个模型中，排除类就是已确诊SARS患者累计数，而是全社会累计SARS患者数，包括已确诊的和未被发现的两局部.有了以上的机理分析，建立起针对SARS的改良SIR模型：该模型中参数和在疫情开展的各个阶段受实际因素影响，会有比拟明显的变化，现分析如下：参数表示单位时间一个传染者与他人的接触率，其与全社会的警觉程度和政府、公众采取的各种措施有关，例如，佩戴口罩，减少停留在公共场所的时间，喷洒消毒药剂，提高隔离强度等都能有效地降低接触率的值.一般认为，的数值随着SARS开展的4个阶段不断变化.在SARS初期，由于潜伏期的存在和社会对SARS病毒传播的速度认识不足，政府和公众并未引起
15、重视，故维持在一个较高的数值；进入爆发期后，公众发现感染者不断增加，恐慌情绪增加，随即采取多种措施，使得到一定的控制，但效果不明显，此处假设呈线性形式缓慢衰减；在顶峰期，当高强度的控制措施实施后，病毒传播的有效接触率明显减少，可以认为按天数呈指数形式衰减；此后进入衰减期，就维持在一个较低值附近.参数表示传播者的被控制率.称为平均传染期，表示一个传播者在被隔离或者死亡之前具有传播能力的平均时间.一般认为，SARS患者经过传染期L过后，将隔离治疗或者死亡，从I类成员变为R类，失去传播能力.L与政府采取的措施密切相关，例如，尽量早地发现病患，对疑似病例提前进展隔离，“早发现，早隔离 ；提供更广围的医疗手段，使更多的人承受有效的治疗等，都可以有效地降低平均传染期LL直接抽象为每一时期SARS患者的就诊率的函数.平均传染期L应随的变化而变化.但是在初期，由于政府对SARS的认识不足，并没有采取有效控制措施， L的变化很小可以近似看作定值，这里我们取SARS病毒最长潜伏期约19天为这个定值；在爆发期，有效控制措施的逐步加强，使SARS患者的就诊率逐渐增加，而平均传染期L会逐渐减小并趋于一个定值，这里我们将SARS病毒平均潜伏期约7天定为L的最小值；在此后的顶峰期
