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1、一数学发展的内部力量1知识成分 知识成分包括问题、方法、符号、命题及现有理论。数学向前发展离不开数学理论现有的发展水平。对现有的数学概念、命题认识的深化、对现有的数学方法的改进、符号的调整及理论体系的建立等问题的研究是推动数学向前发展的重要动力源泉。2数学传统 所谓数学传统，是指关于如何去从事数学研究的总的观念或思想。数学家总是作为数学共同体的一员去从事自己的研究活动的，而数学共同体拥有共同的数学传统。数学家个体从事数学研究从选择课题到研究方法与表达方式及最终对其研究结果的评价均与其信奉的数学传统有关，可以说，数学传统是推动数学发展的重要力量。数学传统包括核心思想、规范性成分、启发性成分。（1
2、）核心思想。是指关于数学本质的总的认识，即总的数学观。如关于“什么是数学？”的问题，以及“数学是演绎得科学”的回答都涉及的数学本质的认识。又如关于数学与真实世界的关系数学家对数学的本质所持的看法、信念对开展数学基础问题及其它有关问题的研究是有着决定性的影响的。有些数学家持有“柏拉图主义数学观”，有的持有“数学模式观”、“数学工具观”、“经验主义数学观”等。（2）规范性成分。是指关于如何去从事数学研究的各种规范或准则。数学家的工作目标是要获得这样的命题，它们是借助于数学共同体一致接受的语言得到表达的，是对于为数学共同体一致接受的问题的解答，并建立在为数学共同体一致接受的论证之上，理论成果的评价符
3、合数学共同体共有的价值标准。现代数学传统中的规范性成分，从整体上分析可以认为：现代数学研究是在形式的水平上进行的，即理论体系建立在公理化基础之上，避免使用自然语言，完全在符号水平上推演；理论基础建立在集合论之上；所研究的问题的重要性不仅取决于它们的实际意义，而且也取决于它们的数学意义。（3）启发性成分。对从事数学研究活动具有启发作用的观念、思想。具体包括数学问题的概括与提出，如何选择问题解决合适有效的方法，如何下定义、表述定理，如何构建理论体系，如何构建理论的基础及数学知识应用的方法、策略等。现有的数学知识与数学传统的关系特别是矛盾关系是推动数学发展的重要的动力因素。这即是指，数学家们并不是盲
4、目地去从事一般化、严格化、系统化等方面的研究工作的，而是由数学发展的现状所决定的。二数学问题1数学内部问题的表现形式（1）常规问题：在一定的知识背景下，顺应数学内在逻辑的发展和推演所产生并能用原有知识解决的数学问题。 （2）反常问题：此类问题产生于一定的理论框架下，但不能在原框架下得到解决，需要另辟蹊径，开拓新的领域，寻求新的方法。 （3）悖论问题：表现为数学发展中的一些矛盾。这类问题的出现是阶段性的，它是数学前进中各种障碍积淀的产物，尽管它的出现总是伴随着危机，但一但危机解决，就会极大的促进数学的发展。（4）数学猜想：所谓数学猜想是数学研究者根据某些已知的事实材料和数学理论知识，通过或然性的
5、推理，对未知的对象所作出的一种似真推断。数学猜想有两个明显的特征：其一，结论或然性，即所得结论可能被肯定，也可能被否定，还可以是不可判定的。其二，结论的创新性。数学猜想作为问题形式的一种，首先表现为对结论的发现，而在数学中发现结论往往比论证结论更重要，通过对猜想的证明或否证往往带来众多的理论上的副产品，甚至形成新的理论与方法。2讨论数学问题在数学研究中的作用（1）数学问题是数学发展动力的外显形式。数学问题的不断提出和解决，使得人们对某一部分的研究作为一种认识成果被确定下来，这些成果的汇集就会不断丰富数学理论宝库。没有数学问题，特定领域的数学理论就不可能形成。（2）重要数学问题的提出与解决标志着
6、数学真正的进步 由数学问题所形成的逻辑链既在纵向上反映着数学的连续性，传统性，又在横向上反映着数学的广泛性、整体性。数学问题的这种关联也是数学得以发展的基础和条件。数学的进步离不开重大数学问题的提出与解决。（3）数学问题是数学研究的逻辑起点数学问题在数学家个人的工作中占有十分重要的地位，提出问题本身就是一种创造性的工作，提出一个问题比解决一个问题更为重要。因为解决问题也许是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，新的理论，从新的角度去看旧的问题，却需要创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步，问题构造了科学研究的实际出发点。（4）问题的提出和解决，可看成是数学发展的基本形式数学家对源于数
7、学外部和数学内部的大量问题的解决，获得了理论形态的概念、命题及相应的方法。在问题解决过程中又产生了新的问题，而对这些新问题的研究，又使人们获得了新的理论知识和方法以及更新的问题，从而推动着数学向前发展。数学问题的提出与解决是数学发展的基本形式。3数学问题在数学教学中的作用 “问题解决”是当今国际数学教育现代化潮流中的热门话题，强调“问题解决”是一切数学教学活动的组成部分，是中学数学教学的核心。（1）以数学问题为中心线索，在数学教学中带动知识的呈现，有利于提高学生的理解及思维水平，促进学生对数学的领悟。具体而言，学生容易理解，为什么要讨论这个问题？为什么要引进这个概念、命题？如何获得？在寻求问题
8、解决过程中学生可以看到数学知识间的联系，知道知识的形成及知识运用的情境，同时获得了解决问题的思维方式方法。传统数学教学关注事实性的知识逻辑关系结构，学生的思维方式主要是理解和带有强烈收敛式思维方式的运用，在某种意义下，学生的数学学习活动方式非常单一，从思维方式讲缺少观察、尝试、归纳猜想、直观直觉、审美等非逻辑的思维方式的成份，另外，缺少问题的提出及问题解决后所带来的相关知识方法的进一步深化、探讨、整理的学习过程。特别是缺少对现有问题、方法、理论成果的评价，即对其进行数学意义下价值、功能方面的揭示，未能从方法论的层次去理解数学知识。（2）以数学问题为中心线索组织教学有助于培养学生的创造性思维。一
9、般数学材料的编写均由问题及相关问题作为教学的主要线索，一般先举一例子，由此引入，再开始做知识上的铺垫,教学过程当中，数学活动的中心线索即解方程这一问题被弱化，数学活动的意义被弱化。学生只会机械地被动地理解接受教师的权威地讲解，并相应进行大量的技能训练，长期如此教学会导致学生的创造性思维受到抑制，如以问题解为中心教学过程中着眼于问题解决本身在相关知识并不完整的情况下会给学生创造性地解决当前问题提供思维和空间。“问题解决教学”、“研究性学习”、“数学建模”成为数学教学流行的模式，即反映了上述问题。第二节 化归的策略二通过语义转化实现化归（4课时）1数学概念、命题的语义与形式任何数学概念命题都具有一
10、定的内容及其形式，更为广泛的意义上说，任何数学问题都可看成命题，即由一定的外在形式如文字、图形特别是符号所表示的特定内容的包括有前提和结论两部分组成的命题。形式化是数学的一个显著特点。代数学起始于以字母形式地表示数，随后，代数关系、运算律、运算法则等都被形式地表示。数学概念命题及数学问题都被形式地给出。数学概念命题的产生形成源于对特定非数学问题与数学内部问题的研究，进而将研究所获得的认识运用确定的语言及符号表示出来。而所说的认识可能是问题的结构特征、内部联系与外部关联关系的概括等等。如考虑三角形有关角的关系，可获得内角和为180、外角等于不相邻内角和、外角和为360等；若考虑三角形边角关系，可
11、得大边对大角等结果；若定量考虑三角形边角关系，可有正余弦定理。这些结果可用相应的数学符号进行表达，而数学符号是形式化的。（1）什么是数学概念、命题的语义和形式一个数学对象，通常指一个数学概念、命题、一个模式（具体的方程、不等式、函数及一般的表达式，也指具体的问题），从哲学角度讲包括内容和形式，而内容在此可以指语义或称之为本真意义，是指其所反映的数学对象的内在结构关系，具有特定的数学意义，形式是指由符号组织起来的表达式，形式蕴含操作意义。更为广泛的意义上说，任何数学问题（例题、习题、试题）都可看成命题，也可看成模式，即由一定的外在形式如文字、图形特别是符号所表示的特定内容（语义）的包括有前提和结
12、论两部分组成的命题。一个对象的具有一定的语义易于理解，而其形式具有操作意义需加以说明。一个数学对象在形成过程中就是由先前的一个或若干个数学对象从内容和形式两方面进行抽象的结果，可以说数学对象的形式是先前一系列操作结构的压缩形成的名词性数学对象。如函数概念。再如导数概念就有内容和可供操作的外在符号表达的形式。符号表达式的操作意义不仅指符号之间的运算、推理意义，也指可以进一步运算、推理的意义，如方程，等式两边的字母和数字之间存在运算，同时也含有作为方程的进一步求解的解方程步骤的操作意义一个数学对象都具有对象性和过程性，它的含义也具有对象性和过程性，符号形式也具有对象性意义和操作意义。我们研究一数学
13、对象，这一数学对象的本质，我们视之为数学对象（概念、命题、问题）的内涵，而对数学对象内涵的揭示与刻划是定义及命题，定义也是命题，而命题的内容是语义，对语义的文字、图形及符号的外在表示和表达，我们称之为语义表达的外在形式。如等差数列概念，其内涵借助定义、性质、通项等确切的语义及形式得以表达。等差数列概念文字表达与图形、图像表示及符号表示（2）一个形式对应多种语义解释 数学符号化、形式化后，每一种数学语义，或者每一个数学概念、关系（命题）等，一般都有一种确定的数学符号表示，也可能是彼此等价的多种数学命题的数学符号表示。 但是，数学符号的表示不是“一一对应”的，一种数学符号（式子）可能有多于一种的数
14、学语义解释，如在直角坐标平面内，点到原点的距离是由表示；点所对应向量的模是；复数域中，复数模的代数表示为；若a、b是正数，还表示以a、b为直角边的直角三角形的斜边。而的最基本的意义是表示以为直角三角形两直角边的斜边。再如表示加法交换律，这里的含义可有多种解释，即这一表达式的语义可以是表示数的交换性，也可表示多项式、函数和矩阵的运算等具有交换性等。 历史上，数学对象的内容与数学符号的形式化表达并不是完全对应的。（3）一个语义可以有多种表达式 就等差数列彼此等价的表达式而言，每一个表达式对应着一个语义，。我们也可以说，等差数列内涵可以有不同的符号表达式。 （4）对同一数学对象本质的不同角度刻画可获
15、得不同语义和形式的数学命题，具体包括等价与半等价命题 对一个对象进行多个角度的刻画可获得语义不同、形式不同但彼此等价的命题。三角形角的关系平行四边形判定和等差数列的等价命题和等差数列定义的等价表示， （1） 命题的数学概念命题组彼此也存在对同一数学对象的某一特征进行不同层次的刻画，即有命题间强弱之间的关系，如函数的可积性的刻画就有定义、闭区间上连续函数可积与有限间断点的有界函数即间断点零测度集可积就存在着对于可积函数性质在刻画上的差异。这样两个命题就存在着一个命题是另一个命题的充分条件。经常存在这样两个命题，其中一个命题是另一个命题的充分条件。这也是化归得以实现的数学客观基础。2化归活动中语义与形式的转换（1）转换数学对象形式可以获得与问题情境相应的语义一般来说，语义着重指与一个概念、命题及一般表达式相应的含义，简单时指字符的运算关系，更指字符所形成的完整的对象化的关系。一个概念、命题及一般表达式具有多个语义，因此，在原初的问
