癌症治疗方案的制定

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1、癌症治疗方案研究摘要癌症一直是困扰医学界的难题，全球癌症患者逐渐增加，研究癌症具有重要 的意义。本文以肺癌为例，首先对癌细胞的增长建立恰当的数学模型，制定了及 早发现的措施；然后，为肺癌设计一个有效的放射治疗方案；最后，提出了合理 的重度癌痛病人的服药方案。针对第一问，建立恰当的肿瘤细胞增长模型，并制定及早发现病症措施。本 文查找资料，根据肿瘤细胞生长特点和规律，并建立了指数生长模型。dN(t) = X N(t) , N (t + T)二 2N (t)dt求解模型并结合实际生长特点分析，指数模型不能反映肿瘤后期生长特征。 本文通过修改相对增长率得到改进的指数模型：dN(t) 一 n (t)ln

2、 他dtNm求解得到肿瘤细胞的生长规律：N (t) = NeL n。丿0 进一步分析可知，改进的指数模型较好地吻合了肿瘤细胞的生长规律。 最后，根据模型结果，得到有效保证及早发现肿瘤的最长检查时间为 650 天。本文建议每一年半进行一次身体检查。针对问题二，本文首先分析了放疗时三个问题：放射敏感性影响因素、放射 治愈率制约条件和放射治疗的缺点。得到放疗应该遵循的三个原则：1、在肿瘤细胞放射敏感性高时进行放射治疗；2、尽量减小放射治疗对健康身体部位的损伤；3、充分考虑患者的身体状况。然后，结合问题一中肺癌细胞的生长规律， 设计出合理的放射线种类和放射周期、强度。最后，得到放疗结果：(1) 当患者

3、的肿瘤增长到第 20 个周期时发现肿瘤。肿瘤细胞的增长较快， 开始进行放射治疗。每两个周期进行一次放疗。六次放疗后，肿瘤组织癌细胞降 低到1。5以下。(2) 当患者的肿瘤发现较晚时，经过一定的放射治疗，患者会逐渐死亡。 针对问题三，本文提出了合理的重度癌痛病人的服药方案。首先，根据相关 资料建立患者体内血药浓度的一级动力学和抛物线混合模型。y = k (t t )2 + D(t t ) t )00查找资料可知，当血液中盐酸吗啡缓释片的浓度低于峰值浓度 40%时，患者 感到癌痛。根据求解结果，患者需要每12个小时服一次药。关键词：放射治疗 癌细胞生长模型 血药浓度一、问题重述1.1 问题背景根据

4、 WHO 统计，全球每年因为患癌症死亡的人数约为 600 万，仅次于心血管 病位居第二。目前，我国进入老龄化社会，环境污染日益严重，癌症患者还将增 加。一个癌细胞直径约为10u m,重约0.001g,当患者被查出患有癌症时，通 常直径已有1cm以上，如果早期发现，会有更多的机会治愈。如何在早期发现癌 症是攻克癌症的关键之一。癌症可以经手术切除、化疗、放射线治疗、免疫治疗、单克隆抗体治疗或其 他方法治疗。治疗方式的选择取决于肿瘤的位置、恶性程度、发展程度以及病人 身体状态。放射线治疗是使用放射线作为治疗疾病的方式,其原理是依据大量的 放射线所带的能量可破坏细胞的染色体，使细胞生长停止,所以可用于

5、对抗快速 生长分裂的癌细胞。放射线治疗最常作为直接或辅助治疗癌症的方式。癌痛是癌症中晚期常见的并发症。据世界卫生组织统计，目前全世界每年新 发生的癌症患者约有700万，其中50%的患者有癌性疼痛症状，70%的晚期癌 症患者以疼痛为主要症状。在疼痛患者中，因各种原因使 50%80%的疼痛 没有得到有效控制。对于可能治愈的癌症患者，确切有效的止痛可以明显改 善病人的一般情况，使其顺利地完成临床放疗、化疗等抗肿瘤治疗计划，达 到治愈的目的。对于难以治愈的患者，有效的止痛可以使其获得较高生存质 量，并延长其生存期。1.2、提出问题针对以上问题，为了定量地研究肿瘤的生长规律、有效放射疗治疗和最大减 轻癌

6、痛，我们着重研究了以下三个问题：（1）针对肿瘤细胞的增长建立恰当的数学模型，并制定措施及早发现病症；（2）为肺癌设计一个可行有效的放射治疗方案；（3）为重度癌痛病人设计一种有效的病人服药方法。二、问题分析本文研究肿瘤细胞的生长规律，并制定及早发现病症的措施，设计放射治疗 的有效方案，最后为重度癌痛病人设计一种服药方法。研究人员将肿瘤细胞的生长方式分为三类：（1）膨胀性生长：生长缓慢，不 侵袭周围正常组织，大多数良性肿瘤的生长方式，一般不会明显破坏器官的结构 和功能。（2）外生性生长：发生在体表或管道器官表面的肿瘤，常向表面生长， 形成突起的息肉状。（3）浸润性生长：肿瘤没有包膜，与邻近正常组织

7、紧密连接 在一起而无明显界限。大多数恶性肿瘤的生长方式。癌症一般都是恶性肿瘤，生长方式为第三种。本文主要针对第三种生长方式 进行研究。首先，为了研究肿瘤的生长规律，本文根据肿瘤细胞的生长特点，结合实际 情况，建立一个恰当的肿瘤细胞生长数学模型，并以肺癌细胞为例，通过查找资 料，代入模型求解，得到肺癌肿瘤细胞在一定环境下的生长规律。然后，根据研 究结果，结合当代医疗水平和治疗措施，设计出合理的放射性治疗方案。最后， 为了解决大部分癌症病人都要承受的癌痛，本文通过研究中晚期癌痛病人普遍使 用的盐酸吗啡缓释片的血药浓度变化规律，提出有效的服药方法。三、模型假设为了简化模型，方便问题分析，本文作出以下

8、几点假设1、经查阅资料，假设九为0.25；2、假设每个癌细胞的大小相等；3、不考虑药片外壳对吸收造成的影响。4、假设每次放射治疗的量合适。四、符号说明符号说明符号说明N (t)发现肿瘤最少细胞数量t时刻反应物含量t时刻癌细胞数量反应速率常数最大癌细胞数量初始时刻指数模型细胞相对生长率反应物的初始含量肿瘤细胞增倍时间半衰期初始肿瘤细胞数目吸收速率常数改进模型细胞相对生长率血药最高浓度五、模型建立和求解5.1 肿瘤生长模型5.1.1 问题分析 研究肿瘤的生长规律，关键是把握影响肿瘤生长速度的各个因素。然后，对 肿瘤生长不同影响因素进行分析，获得肿瘤细胞的生长规律和特点。根据查找资 料，可以知道肿瘤

9、生长速度有关的三个因素有：（1）肿瘤细胞的增殖周期：细胞每次增殖所经历的全过程。简称细胞周期。 根据细胞周期不同时期生长变化的特点，将一次细胞周期划分为四个连续阶段，即G期（DNA合成前期），S期（DNA合成期），G （ DNA合成前期），M 12期（有丝分裂期）。如果以G为起点，那么细胞周期按照G -S-G -M -G 的1 1 2 1 顺序进行。（2）生长分数：生长分数指肿瘤细胞群体中处于复制阶段细胞的比例。在 细胞恶性转化的初期，绝大多数细胞处于复制期，所以生长分数很高。但是，随 着肿瘤的持续生长，不断有肿瘤细胞发生分化，离开复制阶段的细胞越来越多， 所以大多数肿瘤细胞处于稳定期。(3)

10、 肿瘤细胞的生成与死亡：肿瘤细胞的增殖性生长及其生长速度取决于 其细胞的生成数目大于死亡数目的程度。由于营养供应不足和其他条件的限制相 当一部分肿瘤细胞会丧失生命力。根据上述三个因素，结合提出的问题，建立以下简化模型。5.1.2 建立模型人体可通过自身免疫系统来消灭少数的癌细胞，但是，癌症患者多发现于晚 期，如果早期发现，会有更多的机会治愈。为了早期发现癌症，本文首先对肿瘤 的生长建立模型进行研究。通过查找分析肿瘤细胞的生长现象，发现有下列规律：1、在肿瘤生长初期，肿瘤细胞分裂、生长速度远远大于死亡速度，肿瘤生 长初期肿瘤细胞近似按照指数规律生长。每经过一定的时间，肿瘤细胞数目就增 加一倍。2

11、、根据当前医疗水平，当肿瘤细胞达到一定数量时才会被诊断出来。假设 此时肿瘤细胞数量为 N 。03、在肿瘤生长后期，一般来说，为细胞提供营养物质的血液组织生长速度 远不及细胞数增加的速度，因此，随着肿瘤的增长，肿瘤生长速度逐渐减慢并最 终停止，肿瘤细胞数目逐渐趋向某个稳定值。根据以上规律，本文建立合适的肿瘤细胞生长模型。 首先，根据第一个规律本文首先建立描述肿瘤生长一般规律的指数模型。假设，初始时刻某患者体内癌细胞数量为N, t时刻，某患者体内癌细胞数1量为N(t)，患者体内癌细胞最大数量为N，肿瘤细胞的相对生长率为九，肿瘤m细胞增加一倍所需时间为T，如果N(t)相对于t的变化率与N(t)的瞬时

12、值成正比,则有：(5-1)5-2)5-3)dN(t)彳 n (t)dt经过一个增倍周期，癌细胞数增加一倍。得到以下公式：以上方程求解得：N (t + T)二 2 N (t)X = In 2 TN(t)二 N eX(5-4)1本文以肺癌细胞为例进行研究。首先，通过查找肺癌细胞生长的资料，得到 肺癌细胞指数模型的生长相关数据：肺癌细胞的增倍周期T二33天5,本文研究初始肿瘤细胞数目N二1个时的生长模型。然后，利用欧拉法求得微分方程的数1值解，并用ma tlab绘制方程解的曲线如下：X 10F1111 1 . 1 1 11 11图1 肺癌细胞指数模型生长曲线 由结果知：上述肿瘤生长的指数模型吻合了肿

13、瘤生长的规律 1，但是存在以 下两个不足：(1) 随着癌细胞的不断生长需要的养分也越来越多，死亡率也会明显升高， 所以肿瘤生长后期并不会按指数模型生长，与实际不符。(2) 人体内能承受的癌细胞的数量有限，癌细胞并不能无限制的生长，与 实际矛盾。由规律3 可知：当肿瘤生长时间较长时，肿瘤的生长速度将会减小，即生长 曲线趋于平坦，因此，指数模型的后期理论值与实际观测值有较大的偏差。为了 得到比较切合实际的数学模型，本文就此模型的基础上进行了以下改进：考虑将相对增长率修改为理的对数函数，即把相对增长率取为：Nm九(t)=-九InN(t)(55)Nm 其中，负号表示肿瘤细胞相对增长率随总数的增加而减少

14、，相对增长率和当 前肿瘤细胞数目与最大细胞数目比值的对数成正比。如一n(t)ln Nt)(5-6)dtNm以上方程可求得：ln% 仃一 e-入)5-7)N (t)二 Ne竹(1 )1对于上式，分析可知有以下性质：(1) 当t X 时，N(t) tN。这能恰当地说明在肿瘤的生长后期，肿瘤细 m胞的中数目将趋于一个定值。(2) 当t t 0时，e儿.1 -Xt ,上式可化简为N (t)沁Neln N “ ,为指数模型。1 也与肿瘤生长初期实际情况相符。(3) 该模型解曲线的拐点时的癌细胞总数N = Nm ,这说明它的解曲线不是e关于拐点对称的，所以该模型可以比较灵活地与实际数据吻合。分析可得该模型

15、比较准确的反映了肿瘤细胞不同时期的生长规律。本文根 据以上模型，对肿瘤细胞的生长进行描述。5.1.3 模型求解 把肺癌细胞生长的相关数据代入改进后的模型，用欧拉法求出常微分方程的 数值解，并用ma tlab绘制出癌细胞生长曲线如下图：图2 肺癌细胞改进指数模型生长曲线由题目提供的资料可知：一个癌细胞直径约为10ym,重约O.OOlyg,当患者 被查出患有癌症时，通常直径已有1cm以上(即已增大1000倍)。本文认为当 肿瘤大小为1cm时即可被发现，所以可以推断出此时癌细胞的数量约为10 9个。:- X: 37.3-Y: 3.708e+010- 一1 Y：鷺”,009 1 1 1 1 1 1 1在上图中，第一个点A(19.7,1.03x109)指最早地