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1、第三章平 面 与 3.1 面的方程1 .求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：(1)通过点Mi(3,1, 1)和点M2(1, 1,0)且平行于矢量1,0,2的平面(2)通过点Mi(1, 5,1)和M2(3,2, 2)且垂直于 xoy坐标面的平面；(3)已知四点A(5,1,3), B(1,6,2), C(5,0,4) D(4,0,6)。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线 AB且与ABC平面垂直的平面。解：(1) MM； 2, 2,1,又矢量 1,0,2平行于所求平面，故所求的平面方程为：一般方程为：4x 3y 2z 7 0(2)由于平面垂直于xoy面，所以它平行于z轴，即0,0
2、,1与所求的平面平行，又M1M2 2,7, 3,平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：一般方程为：7(x 1) 2( y 5) 0,即 7x 2y 17 0。(3) ( i )设平面通过直线AB,且平行于直线 CDAB 4,5, 1 , CD 1,0,2从而的参数方程为：一般方程为：10x 9y 5z 74 0。(ii)设平面通过直线AR且垂直于 ABC所在的平面AB 4,5, 1 , AB AC 4,5, 1 0, 1,1 4,4,4 41,1,1均与 平行，所以的参数式方程为：一般方程为：2x y 3z 2 0.2 .化一般方程为截距式与参数式：:x 2y z 4 0.解：与三个坐
3、标轴的交点为：(4,0,0),(0 2,0),(0,0,4),所以，它的截距式方程为：H 上孑1.42 4又与所给平面方程平行的矢量为：4, 2,0, 4,0,4,所求平面的参数式方程为：3.证明矢量V X,Y,Z平行与平面Ax By Cz D 0的充要条件为：AX BY CZ 0.证明：不妨设A 0,则平面Ax By Cz D 0的参数式方程为：故其方位矢量为： -,1,0, C,0,1, A A从而V平行于平面Ax By Cz D 0的充要条件为：V, -,1,0, C,0,1共面 A AAX BY CZ 0.4 .已知连接两点A(3,10, 5), B(0,12,z)的线段平行于平面7x
4、 4y z 1 0,求B点 的z坐标.解：AB 3,2,5 z而AB平行于7x 4y z 1 0由题 3 知：(3) 7 2 4 (z 5) 0从而z 18.5 .求下列平面的一般方程.通过点1 2, 1,1和2 3, 2,1且分别平行于三坐标轴的三个平面过点 3,2, 4且在X轴和y轴上截距分别为2和3的平面；与平面5x y 2z 3 0垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面；已知两点 i3, 1,2, 2 4, 2, 1，求通过i且垂直于1, 2的平面；原点在所求平面上的正射影为 2,9, 6 ;求过点1 3, 5,1和2 4,1,2且垂直于平面x 8y 3z 1 0的平面.x 2 y 1 z
5、 1解：平行于X轴的平面方程为 1100.即z 1 0.1 00同理可知平行于y轴，z轴的平面的方程分别为z 1 0,x y 1 0.设该平面的截距式方程为工工 Z 1,把点 3,2, 4代入得c 丝2 3c19故一般方程为12x 8y 19z 24 0.若所求平面经过x轴，则0,0,0为平面内一个点，5,1, 2和1,0,0为所求平面的方位矢量，x 0 y 0 z 0.，点法式方程为5120100一般方程为2y z 0 .同理经过y轴，z轴的平面的一般方程分别为2x 5z 0,x 5y 0.1 21, 1, 3. 1 2垂直于平面，.二该平面的法向量n 1, 1, 3，平面 通过点1 3,
6、1,2 ,因此平面的点位式方程为x 3 y 1 3z 20.化简得x y 3z 2 0. op 2,9, 6 .cos2一,cos 119一,cos 11g11则该平面的法式方程为：296x y z111111110.既 2x 9y 6z 121 0.(6)平面 x 8y 3z 10的法向量为1,8,3)M1M 21.6,1，点从4,1,2写出平面的点位式方程为2,C则一般方程Ax0,则26,14,D262874,By Cz D0,即：13x7z 370.6.将下列平面的一般方程化为法式方程。解： D 3.将已知的一般方程乘上专得法式方程高2y.305z.300. 301.已知的一般方程乘上.
7、得法式方程12x3. D2.1.将已知的一般方程乘上1.得法式方程0.0.将已知的一般方程乘上.得法式方程为义49y447cxyz0.9997.求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦。解：1 .D123635.7.化为法式万程为7x ：y 5 0原点指向平面的单位法矢量为U2,翡，它的方向余弦为8s-,cos- , cos 9 .原点o到平面777的距离为P D 5.2 .D 21.3.化为法式方程为- 3x |y 3z 7 0原点指向平面的单位法矢量为n01,3, |，它的方向余弦为8s12-,cos- ,cos33!.原点。到平面的距离p D 7.第20页8.
8、已知三角形顶点A 0, 7,0 , B 2, 1,1 ,C 2,2,2 .求平行于 VABC所在的平面且与她相距为2各单位的平面方程。uuur umrrrr解：设ABa, ACb.点A0, 7,0 .则a2,6,1 ,b2,9,2写出平面的点位式方程x y 7 z2610292设一般方程 Ax By Cz D 0. A 3.B 2,C 6,D14 0.则 Ip D 2. 7相距为2个单位。则当p 4时D28.当p 0时D 0.所求平面为3x 2y 6z 28 0.和3x 2y 6z 0.9.求与原点距离为 6个单位，且在三坐标轴 ox,oy与oz上的截距之比为 a:b:c 1:3: 2 的平面
9、。解：设a x,b 3x,c 2x.Q abc 0.设平面的截距方程为 -y - 1. a b c即 bcx acy abz abc.又Q原点到此平面的距离d 6.1Lbc 6.,2 22 22, 22b c a c a b x1所求方程为10.平面x ay zx 7.3 2A(a,0,0)B(0,b,0)unnC(0,0, c) AB a,b,0uuurACa,0,cuun uurAB AC bc,ca,ab ;uuuruurAB AC R2 22 22. 2c c a a b .2ABe = 2 E2E11.设从坐标原点到平面的距离为。求证证明：由题知:P.111p a2 b2从而有4 4
10、p2 a2 b2 3.2平面与点的相关位置1.计算下列点和平面间的离差和距离:(1)M ( 2,4,3) ,: 2x y 2z0；(2)M (1,2, 3),:5x 3y0.解:的方程法式化，得:故离差为:32(M)(-)的距离d13y(2)(M)2z3131.30,(2)类似(1),可求得5(M).35.35. 35- 350,M至J 的距离d(M)0.1分别与三个坐标轴交于点 A, B, C.求VABC的面积。2 .求下列各点的坐标:(1)在y轴上且到平面2 2y 2z 2 0的距离等于4个单位的点；(2)在z轴上且到点M(1, 2,0)与到平面3x 2y 6z 9 0距离相等的点；(3)
11、在X轴上且到平面12x 16y 15z 1 0和2x 2y z 1 0距离相等的点。解：(1)设要求的点为M (0, y。,。)则由题意y0 1 6 y 5或 7.即所求的点为(0, -5, 0)及(0, 7, 0)。(2)设所求的点为(0,0,Z0)则由题意知：由此，Z02 或-82/13。故，要求的点为(0,0, 2)及(0,0, 82)。13(3)设所求的点为(X0,0,0),由题意知：由此解得：X0 2或11/43。所求点即(2, 0, 0)及(11/43, 0, 0)。3 .已知四面体的四个顶点为S(0,6,4),A(3,5,3),B( 2,11, 5),C(1, 1,4),计算从顶
12、点S向底面ABC所引的高 解：地面ABC的方程为:6 2 45 c所以，局h 334 .求中心在C(3, 5,2)且与平面2x y 3z 11 0相切的球面方程。解：球面的半径为 C到平面 ：2x y 3z 11 0的距离，它为:2 3 5 6 11142814所以，要求的球面的方程为:_ 22- 2 一(x 3) (y 5) (z 2)56.即：x, 8. 48B 104BC 105C 0.因此 12B 35C 4B 3C 0.B2 C2从而得 12B 35C 0 或 4B 3C 0.于是有 B:C 35:12 或 B:C 3: 4 .所求平面为35y 12z 0或3y 4z 0.6.求与下
13、列各对平面距离相等的点的轨迹. 3x6y 2z 70和 4x3y 50 ; 9xy 2z 140和 9xy 2z60. 解：1 : 1 3x 6y 2z 70人11 .令一3x 6y 2z 7 4x 3y 575化简整理可得：13x 51y 10z 0与 43x 9y 10z 70 0.对应项系数相同 ，可求DD2 -4-64,从而直接写出所求的方 2程：9x y 2z 4 0.9判别点M (2 -1 1)和N (1 2 -3 )在由下列相交平面所构成的同一个二面角内，还是在相邻二面角内，或是在对顶的二面角内？(1) 1 : 3x y 2z 3 0 与 2:x 2y z 4 0(2) 1:2x
14、 y 5z 1 0 与 2 : 3x 2y 6z 1 0解：(1)将 M (2 -1 1), N (1 2 -3)代入 1,得: y2 z2 6x 10y 4z 18 0.5 .求通过x轴其与点M 5,4,13相距8个单位的平面方程。解：设通过x轴的平面为By Cz 0.它与点M 5,4,13相距8个单位，从而4B 13CI22则M, N在i的异侧再代入2，得:2 2 1 4 7 0143440MN在2的同侧MN在相邻二面角内将 M (2 -1 1) N (1 2 -3)代入1,得:4 1 5 1 9 02 2 15 18 0则MN 1的异侧。再代入2，得:6 6 2 1 13 03 4 18 120 0则MN
