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1、专升本高等数学(一)模拟111一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、极限等于_ A Be Ce2 D12、设f(x)为连续函数，则等于_ Af(x2) Bx2f(x2) Cxf(x2) D2xf(x2)3、设y=f(x)在(a，b)内有二阶导数，且f0，则曲线y=f(x)在(a，b)内_ A凹 B凸 C凹凸性不可确定 D单调减少4、设函数在x=0处连续，则a等于_ A2 B C1 D-25、设f(x)为区间a，b上的连续函数，则曲线y=f(x)与直线x=a，x=b，y=0所围成的封闭图形的面积为_ A B C D不能确定6、设f(x)为连续函数，则等于_ Af(2)-
2、f(0) B C Df(1)-f(0)7、设y=e-2x，则y等于_ A2e-2x Be-2x C-2e-2x D-2e2x8、设z=x2y，则等于_ A2yx2y-1 Bx2ylnx C2x2y-1lnx D2x2ylnx9、级数(k为非零正常数)_ A条件收敛 B绝对收敛 C收敛性与k有关 D发散10、方程y+3y=x2的待定特解y*应取_ AAx BAx2+Bx+C CAx2 Dx(Ax2+Bx+C.二、填空题11、=_12、设，则y=_13、设sinx为f(x)的原函数，则f(x)=_14、(x-5)4dx=_15、已知平面：2x+y-3z+2=0，则过原点且与垂直的直线方程为_16、
3、设，则=_17、设区域D：x2+y2a2，x0，则=_18、设f(1)=2，则=_19、微分方程y-y=0的通解为_20、幂级数的收敛半径为_三、解答题21、求22、设求23、计算tanxdx24、设z=z(z，y)由方程ez-xy+y+z=0确定，求dz25、将展开为x的幂级数26、在曲线y=x2(x0)上某点A(a，a2)处作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的图形的面积为试求： (1)切点A的坐标(a，a2) (2)过切点A的切线方程27、求y=xex的极值及曲线的凹凸区间与拐点28、设平面薄片的方程可以表示为x2+y2R2，x0，薄片上点(x，y)处的密度，求该薄片的质量M答案:一、选择
4、题1、C解析 本题考查的知识点为重要极限公式 由于，可知应选C2、D解析 本题考查的知识点为可变上限积分的求导 当f(x)为连续函数，(x)为可导函数时， 可知 因此应选D3、A解析 本题考查的知识点为利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性 由于在(a，b)区间内f(x)0，可知曲线y=f(x)在(a，b)内为凹的，因此选A4、C解析 本题考查的知识点为函数连续性的概念 由于 f(0)=a， f(x)在点x=0连续，因此，故a=1，应选C5、B解析 本题考查的知识点为定积分的几何意义 由定积分的几何意义可知应选B 常见的错误是选C如果画个草图，则可以避免这类错误6、C解析 本题考查的知识点为牛顿-莱
5、布尼茨公式和不定积分的性质 可知应选C7、C解析 本题考查的知识点为复合函数求导 y=(e-2x)=e-2x(-2x)=-2e-2x， 可知应选C8、A解析 本题考查的知识点为偏导数的计算 对于z=x2y，求的时候，要将z认定为x的幂函数，从而 可知应选A9、A解析 本题考查的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛 若记，则，其中k为非零正常数由于为的p级数，它为发散级数，因此为发散级数可以排除选项B 为交错级数，由莱布尼茨判别法可知其收敛故知为条件收敛应选A10、D解析 本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特解y*的取法 由于相应齐次方程为 y+3y=0， 其特征方程为 r2+3r=0， 特征
6、根为 r1=0，r2=-3， 自由项f(x)=x2，相应于pn(x)ex中=0为单特征根，因此应设 y*=x(Ax2+Bx+C)， 故应选D二、填空题11、解析 本题考查的知识点为极限的运算 若利用极限公式 可知 如果利用无穷大量与无穷小量关系，直接推导，可得 12、解析 本题考查的知识点为导数的四则运算 13、cosx解析 本题考查的知识点为原函数的概念 由于sinx为f(x)的原函数，因此f(x)=(sinx)=cosx14、解析 本题考查的知识点为不定积分的凑微分法 15、解析 本题考查的知识点为直线方程和直线与平面的关系 由于平面与直线l垂直，则直线的方向向量s必定平行于平面的法向量n
7、，因此可以取s=n=(2，1，-3)又知直线过原点由直线的标准式方程可知为所求直线方程16、解析 本题考查的知识点为二元函数的偏导数 解法1 由于，可知 解法2 当y=1时，z|y=1=x+x2，因此 17、解析 本题考查的知识点为二重积分的性质 表示所给二重积分值等于积分区域D面积的3倍，区域D是半径为a的半圆，面积为，因此18、解析 本题考查的知识点为函数在一点处导数的定义 由于f(1)=2，可知 19、y=C1+C2ex解析 本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程的求解 特征方程为 r2-r=0， 特征根为 r1=0，r2=1， 方程的通解为 y=C1+C2ex20、解析 本题考查的知
8、识点为幂级数的收敛半径 注意此处幂级数为缺项情形 当即x22时级数绝对收敛，可知三、解答题21、解析 本题考查的知识点为用洛必达法则求未定型极限22、由于， 因此解析 本题考查的知识点为参数方程的求导运算 只需依公式来确定23、解析 本题考查的知识点为定积分的换元积分法24、解法1 令F(x，y，z)=ez-xy+y+z，则 Fx=-y，Fy=-x+1，Fz=e2+1， 解法2 利用微分运算 dez-dxy+dy+dz=0 ezdz-ydx-xdy+dy+dz=0， 解析 本题考查的知识点为求二元隐函数的偏导数与全微分 求二元隐函数的偏导数有两种方法： (1)利用隐函数偏导数公式：若F(x，y
9、，z)=0确定z=z(x，y)，Fz0，则 (2)将所给方程两端直接对x求偏导数，从所求表达式中解出相仿，将所给方程两端直接对y求偏导数，从所求表达式中解出25、解析 本题考查的知识点为将初等函数展开为x的幂级数 如果题目中没有限定展开方法，一律要利用间接展开法这要求考生记住几个标准展开式：，ex，sinx，cosx，ln(1+x)对于x的幂级数展开式26、由于y=x2，则y=2x，曲线y=x2上过点A(a，a2)的切线方程为 y-a2=2a(x-a), 即 y=2ax-a2， 曲线y=x2，其过点A(a，a2)的切线及x轴围成的平面图形的面积 由题设，可得 a=1 因此A点的坐标为(1，1)
10、 过A点的切线方程为y-1=2(x-1)或y=2x-1解析 本题考查的知识点为定积分的几何意义和曲线的切线方程 本题在利用定积分表示平面图形时，以y为积分变量，以简化运算，这是值得注意的技巧27、y=xex的定义域为(-，+)， y=(1+x)ex， y=(2+x)ex 令y=0，得驻点x1=-1 令y=0，得x2=-2 极小值点为x=-1，极小值为 ； 曲线的凹区间为(-2，+)； 曲线的凸区间为(-，-2)； 拐点为解析 本题考查的知识点为：描述函数几何性态的综合问题28、依题设 解法1 利用对称性 由于区域D关于x轴对称，为x的偶函数，记D在x轴上方的部分为D1，则 解法2 解析 本题考查的知识点为二重积分的物理应用 若已知平面薄片D，其密度为f(x，y)，则所给平面薄片的质量M可以由二重积分表示为
