因式分解复习专题

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1、第一部分、因式分解一、知识梳理1因式分解的概念:注:因式分解是“和差”化“积”,整式乘法是“积”化“和差”故因式分 解与整式乘法之间是互为相反的变形过程,因些常用整式乘法来检验因式分解2、提取公因式法注:i多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式ii公因式的构成:系数: 字母: 指数:3、运用公式法i) 平方差公式:注意:条件:两个二次幕的差的形式; 平方差公式中的a、b可以表示一个数、一个单项式或一个多项式; 在用公式前,应将要分解的多项式表示成a2-b2的形式,并弄清a、b分别表示什么.ii) 完全平方公式:注意:是关于某个字母(或式子)的二次三项式; 其首尾两项是两个符号相

2、同的平方形式; 中间项恰是这两数乘积的2倍(或乘积2倍的相反数); 使用前应根据题目结构特点,按“先两头,后中间”的步骤,把二次三项式整理成a2 :2ab b2 =(a_b)2公式原型,弄清a、b分别表示的量.补充:常见的两个二项式幕的变号规律:(a-b)2n =(b-a)2n ;(a-b)2n,=(b - a)2n . ( n为正整数)4、十字相乘法借助十字叉线分解系数,从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.(1)对于二次项系数为I的二次三项式xQpx q,寻找满足ab二q,a b = p的2 2a、b,则有 x px x (a b)x ab = (x a)(x b); (2)对于二

3、次项系数不 为1的二次三项式该怎么办呢?5、分组分解法2 2定义:分组分解法,适用于四项以上的多项式,例如 a -b没有公因式,又不能直接利用分式法分解,但是如果将前两项和后两项分别结合, 把原多 项式分成两组。再提公因式,即可达到分解因式的目的。例如:a2 -b2 a - b=(a2 -b2) (a -b)二(a-b)(a b) (a-b)二(a -b)(a b 1)这种利用分组来分解因式的方法叫 分组分解法.原则:用分组分解法把多项式分解因式,关键是分组后能出现公因式或可运 用公式6、求根公式法:如果ax2 bx0(a = 0),有两个根x?,那么2ax bx c 二 a(x - xj(x

4、 - x2).、典型例题及针对练习考点1因式分解的概念例1、 在下列各式中,从左到右的变形是不是因式分解?(x-3)(x 3) =x2 一9 ;2 x 2x - 3 = x(x 2) -3 ;注:左右两边的代数式必须是恒等, 的积与某项的和差形式.考点2提取公因式法2 x 5x - 24 = (x - 3)(x 8);2 1 x -1 二 x(x - ).x结果应是整式乘积,而不能是分式或者是 n个整式23 x(x-y) -2(y-x)解:注:提取公因式的关键是从整体观察,准确找出公因式,并注意如果多项式的第一项系例 2 _8x4y 6x3y2 _2x3y ;#.提出公因式后得到的另一个因数是

5、负的一般要提出“一”号,使括号内的第一项系数为正 式必须按降幕排列补例练习1、 45a3b2c 9a2bc-54a2b2c ;(a-b)4 a(ab)3 b(b-a)3考点3、运用公式法例3把下列式子分解因式:2 2 2 1 2 36a -4b ; 2x- y .2解:注:能用平方差分解的多项式是二项式,并且具有平方差的形式.注意多项式有公因式时,首先考虑提取公因式,有时还需提出一个数字系数例4把下列式子分解因式:-x2 -4y2 4xy; a5b 18a4b3 81a3b5.解:#注:能运用完全平方公式分解因式的多项式的特征是:有三项,并且这三项是一个完全平方式,有时需对所给的多项式作一些变

6、形,使其符合完全平方公式补例练习2、 a6 -16a2 ;(a 2b)2 -(2a b)2 ; 16x4 8x2 1 ;(x2 1)2 4x(x2 1) 4x2.注:整体代换思想:a、b比较复杂的单项式或多项式时,先将其作为整体替代公式中 字母.还要注意分解到不能分解为止考点4、十字相乘法例 5 a2 -5a 4 ; x4 -5x2y2 4y4.补例练习3、x2 _6xy_16y2(x - y)2 -2(y - x) -80#注:能运用完全平方公式分解因式的多项式的特征是:有三项,并且这三项是一个完全#注:能运用完全平方公式分解因式的多项式的特征是:有三项,并且这三项是一个完全考点5、分组分解

7、法(2)a3 - a 2b -2a2b例6分解因式:(1) 4x2 -4xy y2 _ z2 ;(3) x2 _ 2xy y2 2x _2y _ 3分析:对于四项或四项以上的多项式的因式分解,一般采用分组分解法,。四项式一般采用“二、二”或“三、一”分组,五项式一般采用“三、二”分组,分组后再试用提公因 式法、公式法或十字相乘法继续分解。综合探究创新2例7若x 2(a 4)x 25是完全平方式,求a的值.说明 根据完全平方公式特点求待定系数a,熟练公式中的“ a、b”便可自如求解1 2 1 2例8已知a b = 2,求一a2 ab b2的值2 2说明 将所求的代数式变形,使之成为a -b的表达

8、式,然后整体代入求值#例 9 已知 xy=1 , xy =2,求 x3y-2x2y2 xy3 的值.说明这类问题一般不适合通过解出x、y的值来代入计算,巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解,使之转化为关于xy与x 一 y的式子,再整体代入求值#三、巩固练习课外练一、填空题1.分解因式: 5m2 - 10nm3 二.2. 分解因式: _x2 -9y2 6xy 二.23. 当a =99时,a -2a-3的值是 .4. (x2 _4xy -5y2)- (x _5y) =.5. 分解因式: 1 -a2 2ab-b2 =.6. 分解因式: x4 x2y2 y4 =.、解答题7.分解因式:2m(a-c)-5(c-a) &运有简便的方法计算:75 2.62 -12 3.52.2 29.分解因式:/ _x 2y _6.#

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