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1、物理竞赛中的数学知识一、重要函数1. 指数函数y=sinx .C .y21 .2 y厂 蚩、7j0， ， 2 . 2 ，岫1 匹兀 - 2i 52 帑 4i22y=cosx3一-赤-2-4顼2yJ52-一心-a近-2、 也f. 五尸2 2 . & 2电0 . .2 c 在粼1矿为22y=tanx；|11*/Xy1111|/IlW/防 f-n 2 / 7/ 022322x十-23 .反三角函数反正弦Arcsin x,反余弦Arccos x,反正切Arctan x,反余切Arccot x这些函数的统称， 各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。二、数列、极限1 .数列：按一定次序排列的一列数称为
2、数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项。 排在第一位的数称为这个数列的第1项通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列 的第2项排在第n位的数称为这个数列的第n项。数列的一般形式可以写成气，a2- a3，气，K + l，简记为an，通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示，这个公式 就叫做这个数列的通项公式。n2 .等差数列：一般地，如果一数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。通项公式a=a+(n-1)d，前n项和S =七：气乃=na +1)dn 1n 212等比数列：一般地
3、，如果一数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一 个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表c a - a q a (1 一 qn)示。通项公式an=a】q (n-1)，前 n 项和 % = 厂 =、 (q。1)所有项和S广念(切V1)3 .求和符号y,符号,衣示的是求和(Sum, Summ atian, Addition ) * i卖法:igjnaGKumniaLio nN牌是被求和的参教(ParairicLcr)、函数(Funct而n)、|-一标(Superscript)、下-标(Suhj;cripL) A-I匚表示第也项(/*，EH);布=I表示
4、求和的第-项:n = N表示求刷的最Jl7 -项；I：标、卜标， 般只川R，、k、k g 这六个字母表示，具体怙况雅例如卜； 14(01) f! -nS+6 + 7+S+9 + H) + l 4-l2+ + 14+5 + 16-t 17+ IK + 19 4-20+21+ 22+23+24 MS02if()2 J 前口 冬 =gin ix3 +sin far# + sin or5 + sin % 4-sin o；7 + 浦口的 4- sin + sin+ sin (| + sin k|2M S11(。3) siiifl 电 siniGfj +sin er# +sina or + sin6 a(
5、a0)有定义，对任意0,总存在X0,当xX时，恒有| f(x)-A|8,那么称常 数A是函数f(x)当xr+8时的极限。记为lim f(x)=A,或f(x) - A(xt+8)。XT+8运算法那么lim f(x) g(x)= lim f(x) 土 lim g(x)XT xXT xXTXlim f(x) g(x)= lim f(x) lim g(x)XT X0XT XXT X00其中临g(x# 0.XT X0f ( x) lim / lim (2 = xtx0XTX0 g ( x) lim g ( x)XTX0四、无穷小量与无穷大量1.假设lim f (x) = 0，那么称f (x)是x T X
6、0时的无穷小量。 X T X 0假设lim g(x) = 8,那么称f (x)是x %时的无穷大量。x x 0或：假设lim a(x)=0，那么称a(x)当x xo时为无穷小。xT x 0在自变量某变化过程中，|f(x)|无限增大，那么称今在自变量该变化过程中为无穷大。记为 lim f (x)= 8 .2. 无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的倒数是无穷大量；无穷大量的倒数是无穷小量。3. 无穷小量的运算性质i有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。ii无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。iii有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。4. 无穷小的比拟定义：设lim a (x)=0，lim p (x)=0,x
7、0x0p ( x)1) 假设lim=0,那么称当x x0时p (x)是比a (x)高阶无穷小。x0 a (x)p (x)2) 假设lim0g =8,那么称当x x时p (x)是比a (x)低阶无穷小。P (x)3) 假设lim=C(C0),那么称当x x0时p (x)与a (x)是同阶无穷小，x0 a (x)p(x)4) 假设lim=1,那么称当x x0时p (x)与a (x)是等价无穷小。x0 a ( x)5. 常用的等价无穷小为：1 1当 x0 时：sinxx，tan xx，arcsin xx，arctan xx，1 一cos x二 x2， 遂1 + x 1 x2 n等价无穷小可代换五、二
8、项式定理1 .阶乘：n! = 1 x2x3xx n2 .组合数：从m个不同元素中取出nnm个元素的所有组合的个数，叫做从 m 个不同元素中取出n个元素的组合数mlpn _-. _”4 旧 Cm - n) 用3 .二项式定理i=D即常用三角函数公式sinsinn + a= _ sin a cosn /2 + a= cos a cosn + an /2 + 二- cos a tan n + a= tan a二sin a tan n /2 + a= cot asin( A + B) = sin A cos B + cos A sin Bsin( A 一 B) = sin A cos B 一 cos
9、A sin Bcos( A + B) = cos A cos B 一 sin A sin Bcos( A 一 B) = cos A cos B + sin A sin Bsin 2 A = 2sin A cos Acos 2A = cos2 A 一 sin2 A = 1 - 2sin 2 A = 2cos 2 A 一 12 tan A tan 2 A =1 一 tan2 A.Asin =21 一 cos AA：1 + cos Acos =2Atan =21 一 cos A sin A:1 + cos A 1 + cos A和差化积公式a 一 b-cosa + bsin a + sin b =
10、2sin22a + b a 一 b cos a + cos b = 2coscos22a + b . a bsin a 一 sin b = 2cossin22a + b . a bcos a 一 cos b = -2sin sin22sin (a + b ) tan a + tan b =cos a - cos b积化和差公式- -i 1 r sin a sin b =-2 L- 71 rsin a cos b =2 Lcos (a + b )-cos (a 一 b )sin (a + b )+ sin (a 一 b )71 rcos a cos b =2 L-71cos a sin b =c
11、os (a + b)+ cos (a - b)2 i_sin (a + b )- sin (a - b )万能公式2 tan -2sin a =, a1 + tan 2 -2、， a1 一 tan 2 2 cos a =, a1 + tan 2 一22 tan .2tan a =1 - tan2 a2典型物理问题数列极限等应用1. 蚂蚁离开巢穴沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心 距离Li=1m的A点处时，速度是Vi=2cm/so试问蚂蚁继续由A点到距巢中心L2=2m的B 点需要多长时间？常见近似处理1 .人在岸上以vo速度匀速运动，如图位置时，船的速度是多少？2
12、.如下图，顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凹轮M推动，凸轮绕O轴以匀角 速度转动.在图示的瞬时，OA=r，凸轮轮缘与A接触，法线n与OA之间的夹角为a，试 求此瞬时顶杆AB的速度.（第十一届全国中学生物理竞赛预赛试题3 .三个芭蕾舞演员同时从边长为L的正三角形顶点A,B,C出发，速率都是v,运动方向始终 保持着A朝着B,B朝着C,C朝着A。经过多少时间三人相遇？每人经过多少路程？4 .如下图，半径为R2的匀质圆柱体置于水平放置的、半径为R1的圆柱上，母线互相垂直, 设两圆柱间动摩擦因数足够大，不会发生相对滑动，试问稳定平衡时，R1与R2应满足什么 条件？5.一只狐狸以不变的速度、沿着直线
13、AB逃跑，一只猎犬以不变的速率。2追击，其运动方 向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，FD1AB,且FD=L,如图14-1所示， 求猎犬的加速度的大小.解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故猎犬U 2做匀速率曲线运动，根据向心加速度a = -2, r为猎犬所在处的曲 率半径，因为r不断变化，故猎犬的加速度的大小、方向都在不断 变化，题目要求猎犬在D处的加速度大小，由于七大小不变，如果 求出D点的曲率半径，此时猎犬的加速度大小也就求得了.猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段 很短的时间，内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R，那么加速度U 2 a = t R其方
