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1、数学专题三 函数与不等式【考点精要】考点一. 一元二次不等式及其应用。主要考查一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程“三个二次”的关系。特别当一元二次不等式的解集是和R的情况的等价命题：的解集是R或。如：设为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同实根，则的最小值为（D）A-8 B. 8 C.12 D.13考点二. 绝对值不等式。解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解； 如: (2011年高考山东卷理科4)不等式的解集为A-5.7 B-4,6 C D解答:D考点三. 二元一次不等式组与简单的线性规划问题。了解线性规划的意义，了解线性
2、约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等知识点。考查用线性规划的方法解决两种重要的实际问题：一是给定一定数量的人力、物力资源，怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，怎样统筹安排能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小。如：设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是A14 B16 C17 D19【答案】 B考点四. 不等式的性质。一般不直接单独命题，往往与指数函数、对数函数、幂函数等结合进行考查。如：（2009湖南1）若，则（ ）A. B. C. D.考点五. 利用不等式考查函数的性质。利用不等式的性质考查函数的性质如单调性、周期性、参数的范围等。此类题既可以是选
3、择题、填空题也可以是解答题，考查的范围比较广。如：（2010江苏11）已知函数，则满足不等式的取值范围是 。考点六. 函数的最值。通过考查函数的最值进而考查学生对不等式的性质、函数的性质的理解和掌握。此类问题综合性较强，多以解答题的形式进行考查，需要学生具备较好的基础知识，并且具有灵活分析问题、解决问题的能力。如：（2009宁夏银川）已知,其中。（1）当时，求函数的最大值与最小值；（2）求取值范围，使在区间上是单调函数。考点七. 无理不等式的解法。通常以不等式的性质为依据，等价转化为有理不等式组，对于某些特殊的无理不等式，可以考虑用数形结合的方法求解。如函数及等的图像与性质。考点八. 利用函数
4、的单调性、恒成立问题解不等式。利用函数的单调性、恒成立问题解不等式。此类问题多出现解答题中，这类问题较难把握，其关键是找到（列出）不等式（组），再解不等式（组），其中参变量是一种常用的策略：恒成立。考点九.分式不等式的解法.一般是将分式不等式转化为整式不等式,如一元二次不等式组,在一些选择题和填空题中,有时也用穿根法解.即：， ， 用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中的系数必为正；对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”如:（2011年高考上海卷理科4)不等式的解为 。【答案】或考点十.基本不等式的应用. 基本不等式这几年在高考题中时常出现,主
5、要是求一些函数的最值,注意一正、二定、三相等。特别注意的是，当等号不能成立时，用对号函数（有的资料叫勾函数）的单调性。如：若实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值是_巧点妙拨1在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习，通过等价转化可简化不等式（组），以快速、准确求解加强函数与方程思想在不等式中的应用训练不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证不等
6、式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视2强化不等式的应用,突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键因此，在复习时应加强这方面训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力 【典题对应】一、线性规划与基本不等式例1.(2009山东理12)设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为( ). A. B. C. D. 4x
7、 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 命题意图：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.，要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值。解析：A 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by=z（a0，b0），过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大值12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故选A.名师坐堂：本题应先画出可行域，根据条件求出2a+3b=6,利用均值不等式求出最小值。求线性目标函数的最值关键是将目标函数进行平移，以确定
8、最优解所对应的点的坐标。二、含绝对值不等式的解法例2. (2011年高考广东卷理科9)不等式的解集是_.命题意图：本题综合考查了含绝对值不等式的解法及去掉绝对值号的方法，并会解答简单的一元二次不等式。解析：。由题得 所以不等式的解集为。名师坐堂：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解运用零点讨论法时，要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏三、分式不等式的解法例3.解下列分式不等式：；命题意图：主要考查分式不等式与其他不等式的转化，主要转化为一元二次不等式组，特别在一些选择和
9、填空题中也可运用穿根法。解析：原不等式等价于 用“穿根法”其解集如下图的阴影部分：原不等式解集为名师坐堂：当分式不等式化为时，要注意它的等价变形【授之以渔】1. 不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解：恒成立；恒成立。2. 由求的取值范围，可利用待定系数法，即设，用恒等变形求得，再利用不等式的性质求得的范围。【直击高考】1已知a0，b0，a+b=2，则y=的最小值是( )A B4 C D52设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是( )A14 B16 C17 D193设函数，则满足的x的取值范围是( )A1,2 B0，2 C1，+）
10、 D0，+）4（安徽理4）设变量的最大值和最小值分别为( )A1，1 B2，2 C 1，2 D2，15 设a1,且,则的大小关系为( )Anmp Bmpn Cmnp Dpmn 6不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )A（-，-1 B-，-2）5，+） C1，2 D（-，12，+）7(湖北理17） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流
11、速度v是车流密度x的一次函数（）当时，求函数的表达式;（）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）。数学专题三 函数与不等式【直击高考】1.解析：，故选C. 2.解析：根据题意划出可行域，注意可行域不是面而是一系列的点，根据线性规划求最值的方法易求得答案为B.3.解析：分两种情况讨论最后求并集，答案为D.4.解析：根据题意划出可行域，根据线性规划求最值的方法易求得答案为B.5 解析：设a1, ，, 的大小关系为mpn，选B。6 解析：函数的最大值为4，由已知条件，即，解得，或，选A。7 解析：（）由题意：当；当再由已知得故函数的表达式为（）依题意并由（）可得当为增函数，故当时，其最大值为6020=1200；当时，当且仅当，即时，等号成立。所以，当在区间20，200上取得最大值综上，当时，在区间0，200上取得最大值。即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。
