《济南大学高等数学C(一)8常微分方程-疑难解答》由会员分享，可在线阅读，更多相关《济南大学高等数学C(一)8常微分方程-疑难解答（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题1- 微分方程的基本概念4.若已知满足微分方程那么C和的取之状况应如何？解：显然,若，则对任意常数k,Q满足所给的微分方程。若由满足所给微分方程可得从而 若是微分方程的解,求的值。解：由是所给微分方程的解可得因此可得. 验证由所拟定的函数为微分方程的解。解:在方程两端对x求导,得即。故所给的方程所拟定的函数为微分方程的解。10. 某商品的销售量x是价格P的函数，如果要使该商品的销售收入在价格变化的状况下保持不变,则销售量x对于价格的函数关系满足什么样的微分方程?在这种状况下，该商品的需求量相对价格的弹性是多少?解:由题意得销售收入（常数）,在上式两端对求导,得到所满足的微分方程,即且习题1
2、-2 一阶微分方程1. 求解下列微分方程：(3) () 解：（3) 分离变量并两端积分,得故即（4） 方程两边同步乘以得两端积分,得2. 求下列齐次方程的通解：(1) (2) (3） （4) （) (6)解：(1)将原方程变形为令则于是原方程化为分离变量并积分,得即即将代入上式并整顿，得通解（2) 提示：将原方程写成再令(3） 提示:原方程可变形为后令() 提示:原方程可变形为后令（5) 提示:原方程可变形为后令(6） 原方程可写成令即有则原方程变为整顿并分离变量，得即积分得即将代入上式,通解3. 求下列一阶线性微分方程的通解：(5） （6) （7) 解：（5) （) 将原方程变形为则即（7)
3、 原方程不是有关y的线性方程,将它变形为则是有关和的线性方程，于是即4. 求解下列微分方程满足所给初始条件特解:(） （2) （3) （4)(5) （） 解：(1) 提示:分离变量,得(2) 提示:用分离变量法()分离变量,得两端积分,得即代入初始条件：有由此可得于是即为所求的特解。(4) 原方程可变形为令即则原方程变为分离变量,得积分得即代入并整顿，得通解由初始条件得,于是所求特解为(5）提示：令(6）代入初始条件得故所求的特解为5. 镭的衰变有如下规律：镭的衰变速度与它的现存量成正比,由经验材料得知，镭通过16后，只余原始量的一半,试求镭的量与时间的函数关系。解：设时刻t镭的存量为有题设条
4、件知,即积分得即因时,故从而将代入上式,即得即于是得故(时间以年为单位)。7. 设可微且满足关系式求解:在所给关系式中两端对x求导,得于是又题中所给关系式隐含着条件于是代入条件:得因此习题 1-3 一阶微分方程在经济学中的综合应用1. 已知某商品的需求价格弹性为且当时，需求量(1) 求商品对价格的需求函数；(2) 当时,需求与否趋于稳定。解：（1) 由得到两端积分得将初始条件时,代入上式得于是所求的需求函数为(2） 由于当时,即需求趋于稳定。 已知某商品的需求量Q与供应量都是价格P的函数:其中为常数,价格P是时间t的函数,且满足(k为正常数)，假设当时，价格为1，试求：（1) 需求量等于供应量
5、的均衡价格()价格函数（） 解:(1)由即得(2） 由()得将其代入方程得到即两边积分,得将代入上式,得于是(3) 由于故.某银行账户,以持续复利方式计息，年利率为5，但愿持续以每年元人民币的速率用这一账户支付职工工资,若以年为单位，求账户上余额所满足的微分方程,且问当时始存入的数额为多少时,才干使后账户中的余额精确地减至0.解:显然,银行余额的变化速率=利息盈取速率-工资支付速率。由于时间以年为单位，银行余额的变化速率为，利息盈取的速率为每年0.0B元，工资支付的速率为每年1元，于是,有运用分离变量法解此方程得由得故由题意，令时，即由此得时,后银行的余额为零。5在某池塘内养鱼，该池塘内最多能
6、养00尾,设在t时刻该池塘内鱼数是时间t的函数,其变化率与鱼数及10y的乘积成正比,比例常数为。已知在池塘内放养鱼1尾，个月后池塘内有鱼2尾求放养7个月后池塘内鱼数的公式,放养6个月后有多少鱼？解:时间t以月为单位,依题意有且对方程分离变量且积分,得到将代入,求出于是,放养个月后池塘内的鱼数为（尾)。6 设总人数N是不变的,t时刻得某种传染病的人数为设t时刻对时间的变化率与当时未得病的人数成正比，(比例常数其表达传染给正常人的传染率）。求并对所求成果予以解释。解:由题意,有求解这一问题,可得令得这表白,在题目给出的条件下,最后每个人都要染上传染病。7. 已知某地区在一种已知时期内国民收入的增长
7、率为,国民债务的增长率为国民收入的若时，国民收入为5亿元,国民债务为0.1亿元。试分别求出国民收入及国民债务与时间t的函数关系。解:设该时期内任一时刻的国民收入为国民债务为由题意由上式得由时,故将上式代入得于是，因此，国民收入为国民债务为 某汽车公司在长期的运营中发现每辆汽车的总维修成本对汽车大修时间间隔x的变化率等于已知当大修时间间隔(年)时,总维修成本(百元)。试求每辆汽车的总维修成本y与大修的时间间隔x的函数关系。并问每辆汽车多少年大修一次,可使每辆汽车的总维修成本最低?解:设时间间隔以年为单位,由题意 由可得因此 又令得（负根舍去), 因此是的极小值点,从而也是最小值点，即每辆汽车3年
8、大修一次,可使每辆汽车的总维修成本最低.习题10- 可降阶的微分方程1. 求下列各微分方程的通解:(1）； (2)；(3)； (4);(); (） ;(7)解：（) ,(2)， (3)略(4) 令 则原方程化为运用一阶线性微分分方程的求解公式,得:再积分得通解(5) 略.(6) 令则原方程化为分离变量,得：积分得故分离变量,得:由于,故对上式两端积分,得两边平方，得:(7) 令则原方程化为即若则.是原方程的解,但不是通解.若由于的持续性,则必存在的某个区间,在该区间内,于是分离变量，得积分得即也就是积分得即由于时,故前面所得的解也涉及在这个通解之内.2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
9、(1)(2) ;(3)解: (1） 提示:令则原方程化为在分离变量求解.(2） 在原方程两端同乘以,得即积分得代入初始条件得从而有分离变量后积分即得代入初始条件得于是得特解（)提示:令则将原方程化成一阶线性方程后在求解.3 试求通过点（1,）且在此点的切线与直线垂直的积分曲线.解： 曲线满足微分方程由题意,初始条件为设则原方程化为即运用一阶非齐次线性方程求解公式,有代入初始条件:得于是积分得代入初始条件得因此所求积分曲线为习题-5 二阶常系数线性微分方程. 验证及都是方程的解，并写出该方程的通解.解：由得由得可见故与都是方程的解又由于常数,故与线性无关.于是方程组的通解为3. 求下列微分方程的
10、通解(） (2)(3) (4） (其中为实数)解:(1), (2),(3）略。（4） 特性方程为分三种状况讨论。(a)时，特性方程的根为原方程的通解为(b）时，特性方程有二重实根原方程的通解为(c） 时,特性方程有两个单重实根原方程的通解为4.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)(2) () 解:(), (2)略。（） 解特性方程得故方程的通解为且有代入初始条件,得即故所求特解为5.验证() (是任意常数)是方程的通解。解:(2)不难求得方程的通解记由于有故是原方程的一种特解。因此是原方程的通解。6求下列微分方程的通解（） （2） (为实数);(3) () (5) (6）(7) 解:（
11、),(）, ()，()略.(2）由解得故相应的齐次方程的通解为由于不是特性方程的根,故设是原方程的一种特解,代入方程得消去有即故原方程的通解为(4) 由得故相应的齐次方程的通解为因是特性方程的二重根,故可设是原方程的一种特解,代入原方程并消去得比较系数,得即故原方程的通解为(7) 由解得故相应的齐次方程的通解为由于相应于方程可设特解相应于方程 （是特性方程的根)，可设特解由叠加原理，故可设是原方程的一种特解,代入方程,得比较系数,得即因此原方程的通解为.求下列微分方程满足已给初始条件的特解:(1）(2)(3) 解：（）,()略。（2）由解得故相应的齐次方程的通解为由于不是特性方程的根，故可设是
12、原方程的一种特解,代入方程得比较系数得即故原方程的通解为代入初始条件有即故所求特解为设函数持续,且满足求。解:将所给方程改写为显然,在该方程两端有关x求导,得即 可见又在方程的两端对求导，得若记则有初值问题下面求解上述初值问题。由解得而不是特性方程的根,故令是方程的特解,代入该方程后并消去得于是方程的通解为且有代入初始条件有即于是有习题1-差分方程的概念、常系数线性差分方程解的构造1. 求下列函数的一阶与二阶差分:(） (2) (3) （4) 解：(1） (）（3), （4）略。2. 证明证：3下列式子中是差分方程的有( )A . C 解：由差分方程的定义可知A为差分方程。对于B,左端正好等于右端，因它表达的是一种定义式而不是一种方程,故B不是差分方程。对于C，它可变形为即它只含一种时期的函数值故C也不是差分方程。6. 给定一阶差分方程验证（) 当时，是方程的解;(2) 当时，是方程的解。解:（） 当时,故是所给一阶差分方程的解。()当时，故是所给一阶差分方程的解。习题 1-7一阶常系数线性差分方程.求下列一阶差分方程在给定初始条件下的特解：(1） 且解：(1)解特性方程得于是原方程的通解为代入初始条件得故所求特解为3. 求下列一阶差分方程的通解：(） ()（6) (7) () 解：()解特
