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1、2-7. 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型。(1) (2) (3) 解 (1) 由所求的系统输入输出方程,有a1=2, a2=6, a3=3, b=5当选择输出y及其1阶、2阶导数为状态变量时,可得状态空间模型为(2) 先将方程变换成y的首项的系数为1,对方程两边除以2，得由所求的系统输入输出方程,有a1=0, a2=0, a3=-3/2, b0=1/2, b1=0, b2=0, b3=-1/2, 故由式(2-17)可得因此,当选择状态变量时,可写出状态空间模型为(3) 由所求的系统输入输出方程,有a1=4, a2=5, a3=2, b0=2, b1=1, b2=1, b3=2, 故由
2、式(2-17)可得因此,当选择状态变量时,可写出状态空间模型为2-8将下列传递函数转换为状态空间模型(1) (2) (3) 解 (1) 由系统特征多项式,可求得系统的极点为s1=-1, s2=-2, s3=-3于是有其中,故当选择状态变量为G(s)分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出,则可得状态空间模型为(2) 对本题，先用长除法求出严格真有理函数如下由系统特征多项式,可求得系统的极点为s1=-2, s2=-3于是有其中,故当选择状态变量为G(s)分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出,则可得状态空间模型为(3) 由系统特征多项式,可求得系统的极点为s1=s2=-3, s3=-1于是有其中故当选
3、择状态变量为G(s)分式串-并联分解的各个一阶惯性环节的输出,可得状态空间模型为2-9 试求题图2-9所示系统的模拟结构图,并建立其状态空间模型。题图2-9解： 系统方框图变换成： 则状态空间表达式中： , , 2-10 给定题图2-10所示的一个系统方框图,输入变量和输出变量分别为,试列出系统的一个状态空间模型。题图2-10解：首先,定出状态方程。对此,需将给定方块图化为图示规范方块图,并按图中所示把每个一阶环节的输出取为状态变量。进而,利用每个环节的因果关系,可以导出变换域变量关系式：基此,可以导出变换域状态变量方程：将上述关系式组取拉普拉斯反变换,并运用,就定义此方块图的状态变量方程：再
4、将上述方程组表为向量方程,得到此方块图的状态方程：进而,定出输出方程。对此,由方块图中相应环节显示的因果关系,可直接导出此方块图的输出方程：2-11已知系统的状态空间模型为现用=Px进行状态变换,其变换矩阵为试写出状态变换后的状态方程和输出方程。解 本题的线性变换为=Px ，因此相应的各个矩阵的变换公式为P的逆矩阵为因此有 故系统在新的状态变量下的状态空间模型为2-12 求下列各方阵A的特征值、特征向量和广义特征向量。(1) (2) (3) (4) 解 (1) 由特征方程|I-A|=0可求得系统的特征值为1=1, 2=2计算对应于1=1的特征向量。按定义有(1I-A)v1=0将A、1和v1代入
5、上式,有该方程组有无穷组解。由于 n-rank(l1I-A)=1,即特征向量解空间为1维,其通解式为令v11=1, 可得如下独立的特征向量再计算对应于重特征值2= 2的特征向量。按定义有(2I-A)v2=0将A、2和v2代入上式,有由于 n-rank(l2I-A)=1,该方程组有特征向量解空间为1维,其通解式为因此,令v22=1,解之得(2) 由特征方程|I-A|=0可求得系统的特征值为1=2=-1, 3=5即-1为系统的二重特征值,其代数重数为2。计算对应于二重特征值-1的特征向量。按定义有(1I-A)v1=0将A、1和v1代入上式,有由于 n-rank(l1I-A)=2,该方程组有特征向量
6、解空间为2维,故特征向量解空间为2维,独立的特征向量数为2。解该方程,可得特征向量的通解式为因此,令v11=1,v12=0或1,解之得 和 即重特征值2有两个线性独立的特征向量,故该重特征值的几何重数亦为2。 再计算对应于重特征值3=5的特征向量。按定义有(3I-A)v2=0将A、3和v3代入上式,有该方程组有无穷组解。由于 n-rank(l1I-A)=1,即特征向量解空间为1维,其通解式为令v31=1, 可得如下独立的特征向量(4) 由特征方程|I-A|=0可求得系统的特征值为1=2=1, 3=2由于矩阵为友矩阵，因此对应于1=2=1的特征向量和广义特征向量分别为对应于3=2的特征向量和广义
7、特征向量分别为(4) 由特征方程|I-A|=0可求得系统的特征值为1=2=3=-2由于矩阵为友矩阵，因此对应于1=2=3=-2的特征向量和广义特征向量分别为2-13 试将下列状态方程变换为约旦规范形(对角线规范形)(1) (2) 解 (1) 先求A的特征值。由特征方程|I-A|=0可求得系统的特征值为1=-1, 2=1, 3=2求特征值所对应的状态向量。由前述方法可求得特征值1,2,和3所对应的特征向量分别为p1=0 1 -1t , p2=1 0 1t , p3=-1 0 0t取系统的特征向量组成线性变换矩阵P并求逆矩阵P-1,即有计算、和 故系统在新的状态变量下的状态空间模型为 (2) 先求
8、A的特征值。由特征方程|I-A|=0可求得系统的特征值为1=-1, 2=1, 3=2求特征值所对应的状态向量。由前述方法可求得特征值1,2,和3所对应的特征向量分别为p1=-4 -3 -2t , p2=3 2 1t , p3=2 1 1t取系统的特征向量组成线性变换矩阵P并求逆矩阵P-1,即有计算、 故系统在新的状态变量下的状态空间模型为2-14状态空间模型为(1) 画出其模拟结构图;(2) 求系统的传递函数。解：(i) 系统的模拟结构图如下： (ii) 传递函数由下式给出： 对于该问题,矩阵A,B,C和D为： , , , 因此： 2-15 已知两系统的传递函数阵分别为, 试求两子系统串联联结
9、和并联联结时,系统的传递函数阵。解： 串联联结时, 并联联结时, 2-16 给定题图2-16所示的动态输出反馈系统,其中,试定出反馈系统的传递函数矩阵。题图2-16解：计算所依据的关系式为采用前一个计算公式。对此,先行计算 基此,求得2-17 将下列系统输入输出方程变换为状态空间模型。(1) (2) 解： (1) 可知： 故可得： 因此,当选择状态变量如下： 可写出如下线性离散系统的状态空间表达式: (2) 解： 可知： 故可得： 因此,当选择状态变量如下： 可写出如下线性离散系统的状态空间表达式:2-18 求下列系统状态空间模型对应的z域传递函数G(z)(1) (2) 解： (1) 由公式可得：(2) 解：由公式可得：
