《高中数学函数地单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数地图像》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学函数地单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数地图像（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、实用标准文案函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像( 一) 复习指导单调性：设函数 y f ( x) 定义域为A，区间 MA，任取区间M中的两个值x1， x2，改变量xx2 x1 0，则当y f ( x2) f ( x1) 0 时，就称 f ( x) 在区间 M上是增函数，当y=f ( x2) f ( x1) 0 时，就称 f ( x) 在区间 M上是减函数如果 y f ( x) 在某个区间M上是增 ( 减 ) 函数，则说 y=f ( x) 在这一区间上具有单调性，这一区间 M叫做 y=f ( x)的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法
2、就是利用定义：在所给区间任取x1， x2，当 x1 x2 时判断相应的函数值f ( x1) 与 f ( x2) 的大小利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的对于 y=f ( x) 型双重复合形式的函数的增减性， 可通过换元，令 u=( x) ，然后分别根据 u=( x) ，y=f ( u) 在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律此外，利用导数研究函数的增减性， 更是一种非常重要的方法， 这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述奇偶性：(1) 设函数f(x) 的定义域为，如果对D内任意一个x，都有x ，且f
3、( )= (x) ，则这个函数叫做DDxf奇函数；设函数f ( x) 的定义域为 D，如果对 D内任意一个 x，都有 x D，且 f ( x)= f ( x) ，则这个函数叫做偶函数函数的奇偶性有如下重要性质：f ( x) 奇函数f ( x) 的图象关于原点对称f ( x) 为偶函数f ( x) 的图象关于 y 轴对称此外，由奇函数定义可知：若奇函数f ( x) 在原点处有定义，则一定有f (0)=0 ，此时函数 f ( x) 的图象一定通过原点周期性：对于函数f(x) ，如果存在一个非零常数，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f( + )=f(x) 成立，Tx T则函数 f ( x) 叫做
4、周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期关于函数的周期性，下面结论是成立的(1) 若 T 为函数 f ( x) 的一个周期，则 kT 也是 f ( x) 的周期 ( k 为非零整数 ) (2) 若T为=() 的最小正周期，则T 为 = (+ )+b的最小正周期，其中 0y fx|y Afx |对称性：若函数 y=f ( x) 满足 f ( a x)= f ( b+x) 则 y=f ( x) 的图象关于直线a bx2对称，若函数y=f ( x) 满足 f ( a x)= f ( b+x) 则 y=f ( x) 的图象关于点 ( ab ， 0) 对称2函数的图象：函数的图象是函数的一种重要表现形式
5、，利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质，我们首先要熟记一些基本初等函数的图象，掌握基本的作图方法，如描点作图，三角函数的五点作图法等，掌握通过一些变换作函数图象的方法同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用(1) 利用平移变换作图：文档实用标准文案y=f ( x)左右平移y=f ( x a)y=f ( x)上下平移y=f ( x) b(2) 利用和 y=f ( x) 对称关系作图：y=f ( x) 与 y=f ( x) 的图象关于y 轴对称； y= f ( x) 与 y=f ( x) 的图象关于x 轴对称y= f ( x) 与 y f ( x) 的图象关于原点对称；y=
6、f -1 ( x) 与 y=f ( x) 的图象关于直线y=x 对称(3) 利用 y=f ( x) 图象自身的某种对称性作图y=| f ( x)| 的图象可通过将y=f ( x) 的图象在 x 轴下方的部分关于x 轴旋转 180，其余部分不变的方法作出y=f (| x| ) 的图象：可先做出y=f ( x) ，当 x 0 时的图象，再利用偶函数的图象关于y 轴对称的性质，作出y=f ( x)( x0) 的图象此外利用伸缩变换作图问题，待三角的复习中再进行研究还要记住一些结论：若函数y=f ( x) 满足 f ( ax)= f ( b+x) 则 y=f ( x) 的图象关于直线a bx2对称，若
7、函数 y=f ( x) 满足 f ( a x)= f ( b+x) 则 y=f ( x) 的图象关于点 ( a b ， 0) 对称2( 二) 解题方法指导例 1 设 a 0，试确定函数 f (x)ax在 ( 1，1) 上的单调性x21例 2 讨论 f ( x) x2的增减性x例 3 f ( x) 在 ( ， 2) 上是增函数，且对任意实数 x 均有 f (4 x)= f ( x) 成立，判断 f ( x) 在 (2 ，+ ) 上的增减性例 4* 已知函数f(x) 的定义域为 R，对任意实数，都有f (m n)11m nf (m) f (n)且当 x时，221f ( x) 0又 f ()0.(
8、) 求证 f (0)1 , f ( 1)1;( ) 判断函数f ( x) 的单调性并进行证明22文档实用标准文案例 5 在 R上求一个函数，使其既是奇函数，又是偶函数例 6 判断下列函数的奇偶性(1) f ( x)lg(x x 21)(2) f ( x)a x1( x)( 其中 ( x) 为奇函数， a 0 且 a 1) a x1例 7 设函数f ( x)xa 1,1) 是奇函数，判断它的增减性2(xxbx 1例 8设f(x) 是定义域为R且以 2 为一个周期的周期函数，也是偶函数，已知当 2 ， 3 时f(x)=(xx1) 2+1，求当 x 1 ，2 时 f ( x) 的解析式2x1例 9
9、作出 y的图象，并指出函数的对称中心，渐近线，及函数的单调性x1例 10 作出函数的图象2(1) y ( x 1) 31(2) y=|lg| x| |文档实用标准文案例 11 (1) 作出方程 x+ y =1 所表示的曲线(2) 作出方程 x 1 + y+1 =1 所表示的曲线例 12 已知函数f(x) 和 g(x) 的图象关于原点对称，且f(x)=x2+2 x(1) 求函数 g( x) 的解析式；(2) 解不等式g( x) f ( x) x 1例 题 解 析例 1 解：任取x1，2 ( 1， 1) ，且=21 0，xx xx则y f ( x2 )f ( x1 )ax2ax1a( x2x1 )
10、(1x1x2 )1 x221 x22(1x2 )(1x2 )12由于 1 x1 x2 1，所以x=x2 x1 0， 1x1x2 0， 1 x12 0， 1 x22 0因此当 a0 时，y=f ( x2) f ( x1) 0，当 a 0 时，y=f ( x2) f ( x1) 0所以当 a0 时 f ( x) 在 ( 1， 1) 上是增函数，当a 0 时， f ( x) 在( 1， 1) 上是减函数例 2 分析：可先在 (0 ， ) 上研究 f ( x) 的增减性， 然后根据 f ( x) 的奇偶性判断其在( ，0) 上的增减性，而当x 0 时，有 f ( x)22 2,2x 即 x2 时“ =”成立，即当 x2 时， f ( x) 取得最x当且仅当xx小值2, 由此可知 x=2 是函数单调区间的一个分界点文档实用标准文案解： 任取 x1 ，x2 (0 ，2 ，且x=x2 x1 0则 yf ( x 2
