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1、- 函数与导数解答题之极值点偏移问题1.2013*文21)函数()求的单调区间;()证明:当时,.2.(2010*理21函数.() 求函数的单调区间和极值；()函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时， ()如果且证明【解析】解：f令f(*)=0,解得*=1当*变化时，f(*)，f(*)的变化情况如下表*()1()f(*)+0-f(*)极大值所以f(*)在()内是增函数，在()内是减函数。函数f(*)在*=1处取得极大值f(1)且f(1)=证明：由题意可知g(*)=f(2-*),得g(*)=(2-*)令F(*)=f(*)-g(*),即于是当*1时，2*-20,从而(*)0,从而函数F*在1
2、,+)是增函数。又F(1)=F(*)F(1)=0,即f(*)g(*).)证明：1假设2假设根据12得由可知，,则=，所以,从而.因为，所以，又由可知函数f(*)在区间-，1内事增函数，所以,即2.3.函数1讨论的单调性；2假设函数的两个零点为，证明：试题分析：1首先求出函数的导函数，然后利用导数研究函数的单调性与最值，进而得出所求的结果；2首先由函数的两个零点为并结合1可得0*1a*2，然后构造函数g(*)f(*)f(2a*)，并利用其导函数求出其函数的单调性，进而得出所证的结果.试题解析：f(*)，*0，所以当a0时，f(*)0，f(*)在(0，)上单调递增；当a0时，f(*)在(0，a)上
3、单调递减，在(a，)上单调递增假设函数yf(*)的两个零点为*1，*2*1*2，由可得0*1a*2令g(*)f(*)f(2a*)，0*a则g(*)f(*)f(2a*)(*a)0，所以g(*)在(0，a)上单调递减，g(*)g(a)0，即f(*)f(2a*)令*1a，则f(*1)f(2a*1)，所以f(*2)f(*1)f(2a*1)，由可得f(*)在(a，)上单调递增，所以*22a*1，故*1*22a4.2016*五校下学期第一次联考函数，其图象与轴交于不同的两点，且（1） *数的取值*围； 2证明：5函数在其定义域内有两个不同的极值点求的取值*围；设两个极值点分别为，证明:解：()依题，函数的
4、定义域为，所以方程在有两个不同根.即，方程在有两个不同根1分令，从而转化为函数有两个不同零点，而 2分假设，可见在上恒成立，所以在单调增，此时不可能有两个不同零点. 3分假设，在时，在时，所以在上单调增，在上单调减，从而4分又因为在时，在在时，于是只须：，即，所以. 5分综上所述，6分由可知分别是方程的两个根， 即，设，作差得，即.7分原不等式等价于8分令，则，9分设，函数在上单调递增，10分，即不等式成立，11分故所证不等式成立12分6函数，1假设函数在上单调递增，*数的取值*围；2假设直线是函数图象的切线，求的最小值；3当时，假设与的图象有两个交点，求证：【答案】1；2；3证明见解析【解析
5、】试题分析：1借助函数单调性与导数值是非负数建立不等式求解；2将参数用切点的横坐标表示,再借助导数求最小值；3先分析转化再构造函数,运用导数的有关知识进展推证.试题解析：1 ，.在上单调递增，恒成立即，恒成立令，时，.2 设切点为，则，又，令，则当时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减.当时，取得最小值，为，即的最小值为.3 证明：由题意得得： 得：，即 代入得： ，即，不妨令，记，令，则，在上单调递增，则，故，.又，即，令，则时，在上单调递增，又，考点：导数及在研究函数的单调性最值中的应用7.(2017届武昌区元月调考理科数学函数（1） 讨论的单调性；（2） 设，证明：当时，；（3）
6、设是的两个零点，证明：.8函数在其定义域内有两个不同的极值点1求的取值*围；2记两个极值点分别为，且，假设不等式恒成立，求的*围试题解析：1依题，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根，即，方程在有两个不同根转化为，函数与函数的图像在上有两个不同交点又，即时，时，所以在上单调增，在上单调减从而，又有且只有一个零点是1，且在时，在时，所以的草图如下，可见，要想函数与函数的图像在上有两个不同交点，只须2因为等价于由1可知分别是方程的两个根，即，所以原式等价于，因为，所以原式等价于又由作差得，即所以原式等价于，因为，原式恒成立，即恒成立令，则不等式在上恒成立令，又，当时，可见时，所以在上单调增，又，
7、在恒成立，符合题意当时，可见时，时，所以在时单调增，在时单调减，又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去综上所述，假设不等式恒成立，只须，又，所以9函数，是函数的两个零点，且，1讨论函数的单调性；2求的取值*围；3设是函数的导函数，求证试题分析：1讨论单调性，先导数，然后解得方程在上的解，通过的正负确定的单调区间；2由1知是的极大值点，因此只要，就能保证有两个零点，注意到，因此可由求得的取值*围，再求得*围；3首先由，用表示出，再求得并整理得，此时会发现只要证，此式证明可用换元法，设，再利用函数的性质证明试题解析：1令，则，当时，单调递增；当时，单调递减2由于函数存在两个零点，由1可知，且由
8、于在为增函数，且，所以的取值*围是方法二：函数有两个零点，即方程有两个实数根，即有两个实数根，设，则，设，且单调递增，时，单调递减时，单调递增3由于是函数的两个零点，且所以，两式相减得：，要证明，只需证，即只需证设，构造函数在单调递增，考点：导数与函数的单调性，导数的综合应用10.2014*市三月考试 函数1当时，求函数在的最大值；2令，假设在区间0，3上不是单调函数，求的取值*围；3当时，函数的图象与*轴交于两点，且，又是的导函数假设正常数满足条件，证明：解：当a = 2时，函数y = f (*)在，1是增函数，在1，2是减函数3分所以 =14分(2)解：，5分g (*)因为在区间(0，3)
9、上不是单调函数，在(0，3)上有实数解，且无重根由得：2*2a*a = 0，有，*(0，3)6分又当a =8时，有重根* =2；a = 0时，有重根* = 07分综上，a的取值*围是8分(3)解：当a = 2时，h (*) = f (*)m*的图象与*轴交于两点A(*1，0)，B(*2，0)f (*)m* = 0有两个实根*1、*2，两式相减得：9分于是10分，要证：，只需证：只需证：(*)11分令(0 t 1)，(*)化为令，则，即 12分 13分u (t)在(0，1)上单调递增，u (t) u (1) = 0，即14分11函数讨论函数的单调区间；当时，设的两个极值点，恰为的零点，求的最小值
10、试题分析：求解，分三种情况分类讨论求解函数的单调区间；求出和的导数，运用韦达定理和函数的零点的定义，化简整理，构造新函数，运用导数判断函数的的单调性，即可求解最小值试题解析：，当时，由解得，即当时，单调递增；由解得，即当时，单调递减当时，=，即在0，+上单调递增；当时，故，即在0，+上单调递增当时，的单调递增区间为0，单调递减区间为，+；当时，的单调递增区间为0，+ ，则，的两根，即为方程的两根，又，为的零点，两式相减得 ，得b=，而，y=，令，由得，因为，两边同时除以，得，故，解得t或t2， 00,恒有成立，即对任意*0成立，1分记H*=, H/*=，2分当H(*)单增；当H(*)单减；H*
11、最大值为， 所以5分2函数有两个相异的极值点，即有两个不同的实数根当时，单调递增，不可能有两个不同的实根；6分当时，设，当时，单调递增；当时，单调递减；，8分不妨设，先证，即证，即证，令，即证，设，9分则，函数在单调递减，又，12分考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值，导数的综合应用13.函数1记，求证：函数在区间内有且仅有一个零点；2用表示中的最小值，设函数，假设关于的方程其中为常数在区间有两个不相等的实根，记在内的零点为，试证明：14.函数，且求曲线在点处的切线方程；2设有两个零点，且成等差数列，记是的导函数，求证：15. 2017届*二月调考文科21函数恰有两个极值点*数的取值*围； 求证：16.函数讨论函数的极值点的个数；假设有两个极值点，证明： 解：由得，1分时，所以取得极小值，是的一个极小值点2分时，令，得显然，所以，在取得极小值，有一个极小值点4分时，时，即在是减函数，无极值点当时，令，得当和时，时，所以在取得极小值，在取得极大值，所以有两个极值点6分综上可知：时，仅有一个极值点； 当时，无极值点；当时，有两个极值点7分由知，当且仅当时，有极小值点和极大值点，且是方程的两根，所以， 8分，
