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1、本科毕业论文定积分的计算方法数学与应用数学作者姓名2007级1班学 号 2007011105指导教师提交日期2011年5月10日陇东学院数学与统计学院2011年5月定积分的计算方法(陇东学院数学与统计学院，甘肃庆阳745000 )摘 要：本文从定义法，几何意义计算法，公式法以及特殊计算法和近似计算方法讨论了定 积分的计算.关键词：定积分；计算方法；二重积分；近似计算一引言在数学分析的学习以及科学研究中，到处都会遇到微分、积分的计算问题，微分的计算比较容易，积分的计算难度就要大多了 .正因为如此，人们对积分的计算从理论到实践进 行了大量的研究，总结了许多种方法.在此，着重对定积分的计算方法和技巧
2、做归类简析.二正文1根据定义计算定积分定积分的定义1:一般地，设函数f 3)在区间a,b上连续，用分点a = x x x x x x = b0 1 2i-1 in将区间a,b任意分成n个小区间，每个小区间长度为Ax( Ax = -)，在每个小区间x , x上 取一点&. (i = 1,2,n)，作和式：S -f (& )Ax = 蚪 f () i=1i=1如果Ax无限接近于0 (亦即n +8)时，上述和式Sn无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数 f (x)在区间a,b上的定积分.记为：S = J b f (x)dx a其中f (x)称为被积函数，x叫做积分变量，a,b为积分区间，b积分上限，
3、a积分下限.计算定积分可以通过计算极限】imf(& )Ax来实现.i iAxo i=1例14用定积分的定义求bexdx.a解因为/3) = ex为a,b上的连续函数，所以对于任意分割T和任意点集& .,有Ilim f (&牛 都存在且相等，即ibexdx存在，所以，把a,b平均分成n等份，因此每个子区间 i=1的长度Ax. = -.i nb a .、取每一子区间的右端点为& ，即E = a + 一厂i，于是f G= e(b-a )i a +n ,这样Ef (E )Ax = E ei=1 i i i=12( b - a) + ea + nn(b-a) b a+ ea + n )nb-a e nb
4、 一 a(e n )n - 1b-ae nb一a (eb-a 1) -/ (e n 1),n因此b exdx = lim Ef (& )Axi i anT3 i =1b-ab ab-a=lim ea+ n (eb-a 1)-/ (e n 1)、nnT8=ea (eb-a 1) = eb ea .小结：用定积分的定义计算定积分，能解决的定积分其被积函数一般是比较简单的情形,主要因 为和式f (& )Ax的极限一般不容易求.ii =12利用定积分的几何意义计算一般情况下,定积分bf (x)dx的几何意义是介于x轴、函数f (x)的图形以及直线x = a , x = b a之间各部分面积的代数和，在
5、x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号.例2根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1) j1 xdx,(2) j R R2 - x2dx,(3) L兀cosxdx ,(4)1 xdx .1解(1)由下图(1)所示,jxdx = (-Aj) + 4 = 0.一 一一 .r .、， 兀 R(2) 由上图(2)所示R R2 - x2dx = A =-R22(3) 由上图(3)所示，J2ncoxdx = A + (-A ) + A = A + A + (-A - A ) = 0.03453535(4) 由上图(4)所示,J1 |x|dx = 2A = 2： 1 -1 = 1.-i623公式法凡
6、运用不定积分的基本公式和牛顿一一菜不尼玄玄公式计算定积分的方法，称为公式法.公式法适 用于解决能用不定积分求出被积函数的原函数的这类函数积分的问题.而用不定积分求原函数时有 直接积分、还原积分、分部积分，因此相应地也有定积分的直接积分、还原积分、分部积分法等牛顿一莱布尼兹公式i设f (x)在。,b上连续，且F(x)是f (x)的一个原函数，则J bf (x)dx = F (b) - F (a).a公式(1)是著名的牛顿一莱布尼兹公式.牛顿一莱布尼兹公式把定积分的计算问题归结为求被积函数的原函数在上、下限处函数值之差 的问题，从而巧妙地避开了求和式极限的艰难道路，为运用定积分计算普遍存在的总量问
7、题另辟坦.1小 .1例如 J 1(2 x + sin x +01 + x2途.兀)dx = x2 - cos x + arctgx i = 2 + + cos 1.04:2 - j 2 ex cos xdx00-j 2 cos xdex = e 2 -0ex cos xr正 .+ J 2 ex sin xdx04特殊计算方法4.1方程式求解在计算过程中，通过解方程（组）的方式求定积分.例 3 求I =2 ex sinxdx0解 I = j2 ex sin xdx = ex sin x0兀正兀=e 2 +1 j 2 ex sin xdx = e 2 +1 I 0工1 工解方程：I = e 2 +
8、1 I n I = (e 2 +1).24.2消项法对某些不便计算的积分，经过一定的变化，将其中某些部分积分相互抵消而得其值.作为一种方法只能尝试着使用.1 ln(1 + x) 7 例 44求 I = J1 dx0 1 + x2;兀江工 sin t + cos t 孤 v 2c o s ( t)解 I = J 4ln(1 + tgt)dt = J 4lndt = J 4ln4dt00 cos t 0 c o sx=tgt=4 ln * 2dt + j4lncos( -1)dt j4lncostdt.0040而j4ln cos( -1 )dt = j044 ln cos udu = j 4 ln
9、 cos tdt.兀 00u = t4皿兀I = J 4 ln 2dt = ln 2.4.3利用导数计算定积分例 5 5 求 j2 x3 sin xdx.0解令 f (x) = x3 n 广(x) = 3x2, f (x) = 6x, f (x) = 6, f (4)(x) = 0,j2 气 f (x) f (4)( x)sin xdx = f (0) f (2兀)f (0) f (2k )即j2 兀(x 3 0)sin xdx = 0 8 兀 3 0 12 兀.0j2 x 3 sin xdx = 12兀一 8兀 2.例 6 5计算 I =J 2 xnex sin xdxJ = j2 xnex
10、 cosxdxn0解In孤fx=xnex s i nx 2 - nj 2 xn-1ex00s i nx d x- j2 xnex c o x d x0=（三）ne2 - nI - J .同理：J =-nJ +1 .4.4利用递推公式nn-1n由（2） , （3）得:（2）InJn冗 n 正e 2 nln=1n 兀e 2 nln-1+ nJn-1-nJn-1n = 1,2,ex sin xdx =】e 2 + 】,J =j 2 ex cos xdx = e 2 -.2 2， o 0224.5利用二重积分计算定积分先将定积分设法化为二重积分，再用二重积分的性质进行计算.1 x 3 一 x , 例
11、7 1计算1 = J dx0 ln x解x3 一 x在（0,1）内连续，l nx且 limx3 一x = 0,linf3 一x = 2, xto- lnxxf lnxI* x 3 一 x , JLx有意义，又x 3 一 x 3,=尸 xydy,=j1 dx j3 xydy = j3 dy j1 xydx = j3 dy = l n2.4.6利用带参变量的积分计算定积分例8计算1 = j dx （即例7）0 ln x解令瑚）=!片（2。）,显然顷=0,I(b) = j1 xbdx = n I(b) = ln(b +1) + C/ I(1) = 001 + b,b +1:.C = -ln2 n I
12、(b) = ln(b +1)-ln2 = In 23 +1I = I(3) = ln=ln2.24.73利用留数计算积分这是将实积分转变为复变函数积分，再利用复变函数中留数理论进行计算.例9计算j*鉴dx.解R(x) = 为分母2次，分子0次的有理函数，故上述积分存在.且R(z)在上 1 + x 2半平面只有一个一级极点，在实轴上无孤立奇点，又Re sR(z)eiz, i = lim(z 一 i) =i 项1 + z22i；.j+x=j+csiidx+i f+sindx=2兀 i ei=1.一81 + x 2一 1 + x 2一 1 + x 22ie.I = j+cosxdx = R (1)
13、= 1.一81 + x 2e e e5近似计算法根据定积分的几何意义：b f (x)dx表示的是以f (x)为曲边，以x轴上的区间a,b为低的曲边梯 a形面积的代数和.我们可以用x轴上的分点x = x x，x，,x = b，将曲边梯形的低a，b平均分成 012 nN个小区间,每个小区间的长度为Ax = 宇，过分点作平行于y轴的线段将整个曲边梯形分成N 个小的曲边梯形,每个小的曲边梯形面积都用已知图形的面积来近似代替.根据已知图形的形状可以 分为以下近似计算法：5.1矩形法以第i个小区间左或右端点对应的函数值f (xi -1)或/(xi)为高，以Ax为低作一个小 矩形,用 这个小矩形面积f (x,. - 1)Ax或f (x.)Ax来近似代替第i个小曲边梯形的面积(i = 1,2,n)， 于是f f (x)dx wf (x - 1)Ax = f (x -1) b-a11 Nai=1i=1或jf (x)dx wf (x ) Ji Ni=1上式称为矩形法公式.5.2梯形法以第i个小区间左右端点XXj对应的函数值f (xi -1), f (xi)为上下低，以A为高作一个梯形, 其面积为f (x -1) + f (x )AX，将其作为第i个小的
