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1、第十五章 新增内容和创新题目五、创新题目【考题分类】（一）选择题（共5 题）1.（福建卷理10）对于具有相同定义域的函数和，若存在函数（为常数），对任给的正数，存在相应的，使得当且时，总有则称直线为曲线与的“分渐近线”。给出定义域均为D=的四组函数如下：，；，；，；，。其中，曲线与存在“分渐近线”的是A B C D【答案】C【解析】要透过现象看本质，存在分渐近线的充要条件是时，。对于，当时便不符合，所以不存在；对于，肯定存在分渐近线，因为当时，；对于，设且，所以当时越来愈大，从而会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；当时，因此存在分渐近线。故，存在分渐近线的是选C【命题意图】本题从大学
2、数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是时，进行做答，是一道好题，思维灵活。2.（广东卷文10）在集合a，b，c，d上定义两种运算和如下那么dAa Bb Cc Dd解：由上表可知：,故，选A。3.（湖北卷理10文10）记实数，中的最大数为max，最小数为min。已知ABC的三边长位a,b,c（），定义它的亲倾斜度为则“=1”是“ABC为等边三角形”的A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若ABC为等边三角形时，即a=b=c，则则l=1；若AB
3、C为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，则，此时l=1仍成立但ABC不为等边三角形,所以A正确.4.（山东卷理12文12）定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的a=（m，u），b=（p，q），另ab=mq-np，下面的说法错误的是（A）若a与b共线，则ab=0（B）ab=ba（C）对任意的R，有（a）b=（ab）（D）（ab）2+（ab）2=|a|2 |b|2【答案】B【解析】若与共线，则有，故A正确；因为，而，所以有，故选项B错误，故选B。【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。5.（浙江卷理10）设函数的集合，
4、平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是（A）4 （B）6 （C）8 （D）10解析：当a=0,b=0;a=0,b=1;a=,b=0; a=,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B，本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考察，属中档题（二）填空题（共5题）1.（福建卷文15）对于平面上的点集，如果连接中任意两点的线段必定包涵，则称为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：其中为凸集的是（写出所有凸集相应图形的序号）.【答案】【解析】根据题意，
5、在中任取两点，连接起来，如下图，不符合题意。2.（湖南卷理15）若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列例如，若数列是，则数列是已知对任意的，则，【答案】2，【解析】因为，而，所以m=1,2,所以2.所以1, 4，9，16，猜想【命题意图】本题以数列为背景，通过新定义考察学生的自学能力、创新能力、探究能力，属难题。3.（湖南卷文15）若规定E=的子集为E的第k个子集，其中k=，则（1）是E的第_个子集；（2）E的第211个子集是_【答案】（1）是E的第_5_个子集；（2）E的第211个子集是_4.（四川卷理16）设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有
6、，则称S为封闭集。下列命题：集合Sabi|为整数，为虚数单位为封闭集；若S为封闭集，则一定有；封闭集一定是无限集；若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.其中真命题是 （写出所有真命题的序号）解析：直接验证可知正确.当S为封闭集时，因为xyS，取xy，得0S，正确对于集合S0，显然满足素有条件，但S是有限集,错误取S0，T0,1，满足,但由于011T，故T不是封闭集，错误答案：5.（四川卷文16）设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：w_w w. k#s5_u.c o*m集合Sab |为整数为封闭集；若S为封闭集，则一定有；封闭集一定是无限集；若S为封闭集，则满
7、足的任意集合也是封闭集.其中真命题是 （写出所有真命题的序号）解析：直接验证可知正确.当S为封闭集时，因为xyS，取xy，得0S，正确对于集合S0，显然满足素有条件，但S是有限集,错误取S0，T0,1，满足,但由于011T，故T不是封闭集，错误答案：w_w w. k#s5_u.c o*m（三）解答题（共6题）1.（北京卷理20）已知集合对于，定义A与B的差为A与B之间的距离为（）证明：，且;（）证明：三个数中至少有一个是偶数() 设P，P中有m(m2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P). 证明：（P）.证明：（I）设，因为，所以, 从而又由题意知，.当时，;当时，所以(II)设，.
8、记，由（I）可知所以中1的个数为，的1的个数为。设是使成立的的个数，则由此可知，三个数不可能都是奇数，即,三个数中至少有一个是偶数。（III）,其中表示中所有两个元素间距离的总和，设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0则=由于所以从而2. （北京卷文20）已知集合对于，定义A与B的差为A与B之间的距离为（）当n=5时，设，求，；（）证明：，且;() 证明：三个数中至少有一个是偶数（）解：=（1,0,1,0,1）设是使成立的的个数。则3.（广东卷理21）设A(),B()是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离(A,B)为(A,B)=+.对于平面上给定的不同的两点A(
9、),B()若点C（x, y）是平面上的点，试证明+;在平面上是否存在点C(x, y),同时满足+= ； = ；若存在，请求所给出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明。解析：设A(),B()是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)为.当且仅当时等号成立，即三点共线时等号成立.（2）当点C(x, y) 同时满足P+P= P，P= P时，点是线段的中点. ，即存在点满足条件。4.（江苏卷23）已知ABC的三边长为有理数（1）求证cosA是有理数（2）对任意正整数n，求证cosnA也是有理数解析 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析
10、问题、解决问题的能力。满分10分。（方法一）（1）证明：设三边长分别为，是有理数，是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，必为有理数，cosA是有理数。（2）当时，显然cosA是有理数；当时，因为cosA是有理数，也是有理数；假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。当时，解得：cosA，均是有理数，是有理数，是有理数。 即当时，结论成立。综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。（方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知是有理数。（2）用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数。假设当时，和都是有理数。当时
11、，由，及和归纳假设，知和都是有理数。即当时，结论成立。综合、可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。5.（上海卷理22）若实数、满足，则称比远离.（1）若比1远离0，求的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离；（3）已知函数的定义域.任取，等于和中远离0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.解析：(1) ；(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，因为，所以，即a3+b3比a2b+ab2远离；(3) ，性质：1f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2f(x)是周期函数，最小正周期，3函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kZ，4函数f(x)的值
12、域为6.（上海卷文22）若实数、满足，则称比接近.（1）若比3接近0，求的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；（3）已知函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.解析：(1) x(-2,2)；(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，因为，所以，即a2b+ab2比a3+b3接近；(3) ,kZ，f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T=p，函数f(x)的最小值为0，函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kZ内容总结（1）第十五章 新增内容和创新题目五、创新题目【考题分类】（一）选择题（共5 题）1.（福建卷理10）对于具有相同定义域的函数和，若存在函数（为常数），对任给的正数，存在相应的，使得当且时，总有则称直线为曲线与的“分渐近线”（2）（2）E的第211个子集是_4.（四川卷理16）设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集
