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1、-第二章 度量空间作业题答案提示1、 试问在上，能定义度量吗？答：不能，因为三角不等式不成立。如取则有,而，2、 试证明：1;(2)在上都定义了度量。证：1仅证明三角不等式。注意到故有 2仅证明三角不等式 易证函数在上是单调增加的， 所以有,从而有 令,令 即4.试证明在上，定义了度量。证：1因为*,y是连续函数及显然成立。5.试由Cauchy-Schwarz不等式证明证：8.试证明以下各式都在度量空间和的Descartes积上定义了度量证：仅证三角不等式。1略。 (2) 设，则39、试问在上的是什么？上图像以为中心铅直高为2的开带中的连续函数的集合。10、试考虑并确定使得的最小，其中。11试
2、证明在离散度量空间中，每个子集既是开的又是闭的。设是离散度量空间的任一子集。，开球，故事开集。同样道理，知是开的，故又是闭集。12设是的聚点，试证明的任何邻域都含有的无限多个点。证：略。131假设度量空间中的序列是收敛的，并且有极限，试证明的每个子序列都是收敛的，并且有同一极限。 2假设是Cauchy序列，并且存在收敛的子序列，试证明也是收敛的，并且有同一极限。（1） 略（2） ，当时，有，是Cauchy序列且因此，当时，18.试证明：Cauchy序列是有界的. 证明：假设是Cauchy序列，则存在,使得对于一切,有,因此，对于一切，有19.假设和都是度量空间中的Cauchy列，试证明：是收敛
3、的。证：根据三角不等式，有故，同样有：即：而是完备的，则是收敛的。34.假设是紧度量空间，并且是闭的，试证明也是紧的。证明：因为是紧的，故中任一序列有一个在中收敛的子序列。不妨设，则有。又因是闭的，所以，因此是紧的。. z.-第三章 线性空间和赋线性空间10.试证明以下都是上的数 1； (2) ; (3) ;是数吗？1、2和3的证明略不是数，不满足三角不等式。以为例，令则13.试证明1、和都是的线性空间，其中是收敛数列集；是收敛数列0的数列集；是只有有限个元素的数列集。2还是的闭子空间，从而是完备的。3不是的闭子空间。证明：2设，,使得.则有任意的，使得对于一切，当,时有,又因为，所以当时从而
4、有于是，故14.试证在赋线性空间中，级数的收敛性，并不蕴含级数的收敛性。令， 则，且于是，收敛但15.设是赋线性空间，假设级数的绝对收敛性蕴含着级数的收敛性，则是完备的。证：设*是*中任一Cauchy列，则kN，n，s.t.当m，nn时，。而且对一切的k，可选取nn，从而S是S的一个子列，并且令*=S，*=S-S，则S是级数的局部和序列，从而于是绝对收敛，故收敛。不妨设SS*，由于*是Cauchy列，故又由于S是任意的，故证明*是完备的。17. 设*，和*，是赋线性空间，试证明其Descarts积*=*在定义数=ma*，后也成为赋线性空间。证：1=0=0*=0,0=2=ma*，=ma*，=3设
5、*=*，*，y=y，y，则20. 1假设和是*上任意两个等价数，试证明*，和*，中的Cauthy序列一样 2试证明习题10中的三个数等价证：设*是*，中的任一Cauthy序列，即，N，当n，mN时，由于和是*上任意两个等价数，所以存在正数a，b使ab *于是当nmN时，有即*是*，中的Cauthy序列。反之，假设*是*，中的Cauthy序列，则由*左边不等式，可证*是*，中的Cauthy序列。（2） R是有限维赋线性空间，其上的数都是等价的。20 (2)的直接证明： 证明在中，数、和等价，其中；证 ， 故和等价。由Cauchy-Schwart不等式，得，故有 再有 我们得 故与等价29. 假设
6、：是可逆的线性算子，*1,*n是线性无关的，试正明,也是线性无关的.证：假设存在1，n且不全为零，使得 ,则由于存在且为线性的，故,与*1,*n线性无关矛盾。32.假设是有界性算子，试证明对满足的任意，都有.思路：由即证结论。33.设：使得，试证明证：设，则=从而T是线性算子.,所以.进一步可以证明.37.设使得 1试求和 2试问吗？ 1是满足且在上连续可微分的函数构成的的子空间，且。 2是线性的，但是无界的。 事实上，蕴含着38.在C0,1上分别定义和(1)试问S和T是可交换的吗(2)试求，和修改，(1), 故，S和T不是可交换的。(2), 所以 令， 则 于是类似可求：，。39.在上定义数，并设T：使得，其中试证明。证： ，则 T=(t-)+y(t-)=, 即 T是线性算子=，40、证明以下在C上定义的泛函是有界限性泛函：1，固定；2证： 1线性性略令B=，则有 =Bb-a，故有 Bb-a2略41、设上的线性泛函定义为，试求解：,，所以，取，n为正奇数，则，由于,故.综上所述，。44.1在上定义， 试证明是中的数。2试证明在上定义了有界限性泛函。3试证明视为的子空间时，上面定义的f不再是有界的。证：1仅证三角不等式2仅证有界性(3)当视为的子空间时，2中的f不再是有界的，此时对每个，都存在，使得且于是，便有. z.
