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1、1.2求下列各式的值。(1）（-i)解:i=2cos( -30)+si(-0） =2cs3- i30(i）=2os（35)-isi(5) =2(/2/） =-1-1i .求下列式子的值(2）（1+i）解：令=+ 则x=Re(z)=1，y=m(z)=1r=tan=1x0,y0属于第一象限角1+i=（o+isin）（1i)=()（s+isi) =8（-） -8i 1.2求下式的值(）由于1=（cossn)因此=cos(/6)+si()(k=,，2,4,，6）. 习题一12（4)求（1-i)的值。解:(1-） =(cos-isin-) =c（)+n() （k0,1，2） 1.3求方程+8=0的所有根
2、。解：所求方程的根就是=由于-8=8(cos+isi）因此= co(2)/3+isn（+2k）/3 k0,2其中=2即 2osin/3=1i=2co（+2）/+isin（+2)/3-2 =cos(+4)/+isin(+4） 1i 习题二1.5描出下列不等式所拟定的区域或者闭区域,并指明它是有界还是无界的,单连通还是多连通的。（） I() 解:设z=x+i由于Im(z)0，即,y0而因此,不等式所拟定的区域D为：不涉及实轴的上半平面。由所拟定的区域可知,不存在某一种正数M，使得拟定区域内的每个点z满足,因此该区域是无界的。在该区域D内任意作一条简朴闭曲线,该曲线的内部总是属于D区域，因此区域D为
3、单连通区域。综上所述，该不等式拟定的区域是不涉及实轴的上半区域，是无界的单连通区域。 描出下列不等式的区域或闭区域,并指出它是有界还是无界的，单连通的还是多连通的。.5(2)解：该不等式的区域如图所示：y1 5 x 圆+=的外部(不涉及圆周），无界的,为开的多连通区域 5.描出下列不等式所拟定的区域或闭区域,并指明它是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的0R（z）1由直线X=0与X=1所围成的带形区域，不涉及两直线在内,是无界的、开的单连通区域。 .5描述下列不等式所拟定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的：（4）解：即为由圆周与所围成的环形闭区域（涉及圆周),是
4、有界多连通闭区域。如图：已知映射w=3， 求（1） 点z1=i,z21i,=+，在w平面上的像。解：z=i，则wz33。于是 Z1=i=,z2=+i=()Z3+i=2（+）=2()经映射后在平面上的像分别是 W1=-i, W2=(-+i）-+2, W3=8i第47页3.5计算下列各题（1) =-(（os)=1 -(zcsz)z=0 dz ) =cs1-si1注：因输入法问题。故特设定的共轭负数为z*,除号为/17:设f（z)=1z(z/z*-z*z) (0)当z0时，极限不存在解法一:一方面假设z e 则有：(zz*z*/） =r2 ( e-2 i-e2i ）/2 -2isin2 可见是随发生
5、变化而变化的变量 因此根据极限必须为常数可知 当z0时,极限不存在 是以此题得证。解法二:一方面假设z=x+ 则(/*-z*/) (z*2 z2 )/x2y2 -ixy/ x2 +y2 因此可见，当z时,即当0, 0时 由于有li （x0,y0)xy/ 2 y2 极限不存在 因此当0时,f(z）=/z2 (zz-*/z)的极限不存在 是以此题得证。2.1 运用导数定义推出:（) （z)、=nz-（n为正整数）; 解 = =（nz+cz+.+) =z.(2） ()=- = (2)f（x)=x+y3i解：u=2x3,v=3y3。, , 上述4个偏导到处持续,但仅当2x2=3y时-R方程成立。因而函
6、数只在直线=0上可导，但是在复平面上不解析。 习题2 2.2的第一小题下列函数在何处可导？何处解析？解：在 z 平面上到处持续，且当且仅当2x = 1 时,u,v 才满足C- 条件，故f（z) u i = x -i y仅在直线 上可导,在 平面上到处不解析。76（2）：求下列函数的傅里叶变换：f（）=cstsint解：F()= = = = =22如下函数何处可导？何处解析？ （z）=sixy+icoxshy 解： u=sxcy v=cosxsh 可得 并且上述四个一阶偏导数均持续，因此f(z）在复平面内到处可导,从而在复平面内到处解析。25页习题二 3指出函数的解析性区域并求其导数（1)（z-
7、1)解：由题可知(z-1)5 到处解析 其导数f（)=(-1）4 5页 习题二 .3指出函数的解析性区域并求其导数 （2)解：设，则令 则 又令 即 因此在复平面内到处解析，即在复平面内到处解析,其导数为。23题:指出下列函数的解析性区域，并求其导数；（）（z）解:令-0得 z1和1 因此该函数除z=-1和1外在复平面上到处解析； 该函数的导数为:-页: 习题二 2.指出下列函数的解析性区域，并求其倒数。(4）. (c d中至少有一种不为0)解当c=0时，函数在复平面到处解析；(）的倒数为;当c!=时:函数除z=外在复平面到处可导，到处解析;()的倒数为=第二章24求下列函数的奇点；(1）解:
8、由于:当z()=0;因此 z=0;=-1由Z= 计=-=cos+i iZ=cos+i sin (n0,1)当n=0时，=i；当=时,z=i；因此本题奇点分别为0;- ； ;2.4 求下列函数的奇点:(2) 解:令原函数分母 即：原函数在处不解析,故原函数的奇点为 2.10求Ln（-i），L（-3+4i)和她们的主值。解：n(i）=Ln|+i(rg（-）+k）i( +k）(2- )，k，1,+2，ln(-）ln-| + i ar（-i）=- Ln（-3+4i)=ln|34|+rg（-+4i)+2=n5+（-arcta)+2k=ln5-i(arcta-(2+1）)，k0，+1，2,ln（-3+i）=ln|-3+i| + ag(-4）l5+i(-artan)习题.12=习题三页3沿下列路线计算积分 :（1)自原点至3 的直线段;解：此直线的参数方程可写成: x=3，y=t, 0t1， 或 z=3t，0t, =3ti， =（3+i）.于是 = 书46页.1沿下列路线计算积分(2) 自原点沿实轴至,再由铅直向上至解设原点到到到 3.2 试用积分的值,其中C为正向圆周：解:正向圆周的参数方程为:由公式得:复变函数期中作业 习题三4沿指定曲线的正向计算下列各积分:（1)解:由柯西积分公式得 3.4 (4） , C:|=
