北京市2016届高三数学一轮复习 专题突破训练 导数及其应用 理

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1、北京市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练导数及其应用1、(2015年北京高考)已知函数()求曲线在点处的切线方程;()求证:当时,;()设实数使得对恒成立,求的最大值2、(2014年北京高考)已知函数,(1) 求证:;(2) 若在上恒成立,求的最大值与的最小值.3、(2013年北京高考)设L为曲线C:在点(1,0)处的切线(1)求L的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方4、(朝阳区2015届高三一模)已知函数 (1)当a = 1时,求函数 f (x)的最小值;(2)当a1时,讨论函数 f (x)的零点个数。5、(东城区2015届高三二模)已知函数 ()当时,求在区

2、间上的最小值; ()求证:存在实数,有.6、(房山区2015届高三一模)已知,其中()若函数在点处切线斜率为,求的值;()求的单调区间;()若在上的最大值是,求的取值范围7、(丰台区2015届高三一模)设函数,()当时,求曲线在点处的切线方程;()在()的条件下,求证: ;()当时,求函数在上的最大值8、(海淀区2015届高三二模)已知函数. ()求函数的零点及单调区间;()求证:曲线存在斜率为6的切线,且切点的纵坐标.9、(石景山区2015届高三一模)已知函数()若,求函数的极值;()设函数,求函数的单调区间;()若存在,使得成立,求的取值范围10、(西城区2015届高三一模)设nN*,函数

3、,函数,x(0,+),(1)当n =1时,写出函数 y = f (x) 1零点个数,并说明理由;(2)若曲线 y = f (x)与曲线 y = g(x)分别位于直线l : y =1的两侧,求n的所有可能取值。11、(北京四中2015届高三上学期期中)已知函数()若为的极值点,求实数a的值;()若在上为增函数,求实数a的取值范围.12、(朝阳区2015届高三上学期期中)已知函数.()求函数的单调区间;()若在上是单调函数,求的取值范围.13、(东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试)已知定义在上的函数,。(I)求证:存在唯一的零点,且零点属于(3,4);(II)若且对任意的恒成立,求的最大

4、值。14、(昌平区2015届高三上学期期末)已知函数f (x) ln xa2x2ax (a)( I ) 当a1时,求函数f (x)的单调区间;( II ) 若函数f (x)在区间 (1,)上是减函数,求实数a的取值范围15、(朝阳区2015届高三上学期期末)设函数()当时,求函数的单调区间;()设为的导函数,当时,函数的图象总在的图象的上方,求的取值范围16、(大兴区2015届高三上学期期末)已知.()若,求在处的切线方程;()确定函数的单调区间,并指出函数是否存在最大值或最小值参考答案1、解析:() 因为,所以, 又因为,所以曲线在点处的切线方程为()令,则因为,所以在区间上单调递增所以,即

5、当时,()由()知,当时,对恒成立当时,令,则所以当时,因此在区间上单调递减当时,即所以当时,令并非对恒成立综上可知,的最大值为2、证明:,时,从而在上单调递减,所以在上的最大值为,所以.法一:当时,“”等价于“”;“”等价于“”,令,则.当时,对任意恒成立.当时,因为对任意,所以在区间上单调递减.从而对任意恒成立.当时,存在唯一的,使得,且当时,单调递增;当时,单调递减。所以。进一步,“对任意恒成立”当且仅当,即.综上所述,当且仅当时,对任意恒成立;当且仅当时,对任意恒成立.所以,若对任意恒成立,则的最大值为,的最小值为.法二:令,则,由知,故在上单调递减,从而的最小值为,故,的最大值为.的

6、最小值为,下面进行证明:,则,当时,在上单调递减,从而,所以,当且仅当时取等号.从而当时,.故的最小值小于等于。若,则在上有唯一解,且时,故在上单调递增,此时,与恒成立矛盾,故,综上知:的最小值为.3、解:(1)设,则.所以f(1)1.所以L的方程为yx1.(2)令g(x)x1f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)0(x0,x1)g(x)满足g(1)0,且g(x)1f(x).当0x1时,x210,ln x0,所以g(x)0,故g(x)单调递减;当x1时,x210,ln x0,所以g(x)0,故g(x)单调递增所以,g(x)g(1)0(x0,x1)所以除切点之外,曲线C在直线

7、L的下方4、 5、解:()当时,. 因为, 由,. 则, 关系如下: 极小值 所以当时,有最小值为. 5分()“存在实数,有”等价于的最大值大于. 因为, 所以当时,在上单调递增, 所以的最大值为. 所以当时命题成立. 当时,由得. 则时, 关系如下:(1)当时 , ,在上单调递减,所以的最大值. 所以当时命题成立.(2)当时, ,所以在上单调递减,在上单调递增. 所以的最大值为或. 且与必有一成立, 所以当时命题成立.(3) 当时 ,所以在上单调递增, 所以的最大值为. 所以当时命题成立. 综上:对任意实数都存在使成立. 13分6、解:()由题意得f (x),x(1,),由f (3)0a 3

8、分()令f (x)0x10,x21,当0a1时,x11时,1x20f(x)与f (x)的变化情况如下表x(1,1)1(1,0)0(0,)f (x)00f(x)f(1)f(0)f(x)的单调递增区间是(1,0),f(x)的单调递减区间是(1,1)和(0,)综上,当0a1,f(x)的单调递增区间是(1,0)f(x)的单调递减区间是(1,1),(0,)当a1时,f(x)的单调递减区间为(1,) 9分()由()可知当0af(0)0,所以0a1不合题意,当a1时,f(x)在(0,)上单调递减,由f(x)f(0)可得f(x)在0,)上的最大值为f(0)0,符合题意,f(x)在0,)上的最大值为0时,a的取

9、值范围是a1 13分7、解:()当时, 所以 因为,即切线的斜率为, 所以切线方程为,即 4分()证明:由()知令,则 当时,在上单调递减,当时,在上单调递增, 所以当时,函数最小值是命题得证 8分()因为,所以令,则 当时,设,因为,所以在上单调递增,且,所以在恒成立,即 所以当,在上单调递减;当,在上单调递增所以在上的最大值等于,因为,不妨设(),所以由()知在恒成立,所以在上单调递增 又因为,所以在恒成立,即所以当时,在上的最大值为 13分8、解:()令,得. 故的零点为. 1分(). 3分令 ,解得 . 当变化时,的变化情况如下表:所以 的单调递减区间为,单调递增区间为. 6分()令.

10、则. 7分因为 ,且由()得,在内是减函数,所以 存在唯一的,使得.当时,.所以 曲线存在以为切点,斜率为6的切线. 10分由得:.所以 .因为 ,所以 ,.所以 . 13分 9、()的定义域为 1分当时, 2分由,解得.当时,单调递减;当时,单调递增;所以当时,函数取得极小值,极小值为; .4分(),其定义域为又 .6分由可得,在上,在上,所以的递减区间为;递增区间为 .7分(III)若在上存在一点,使得成立,即在上存在一点,使得即在上的最小值小于零 8分当,即时,由(II)可知在上单调递减故在上的最小值为,由,可得 9分因为所以; 10分当,即时,由(II)可知在上单调递减,在上单调递增在上最小值为 11分因为,所以,即不满足题意,舍去 12分综上所述: 13分10、11、()解:1

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