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1、北京市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练导数及其应用1、（2015年北京高考）已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求证：当时，；（）设实数使得对恒成立，求的最大值2、（2014年北京高考）已知函数，（1） 求证：；（2） 若在上恒成立，求的最大值与的最小值.3、（2013年北京高考）设L为曲线C：在点(1,0)处的切线(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方4、（朝阳区2015届高三一模）已知函数 （1）当a = 1时，求函数 f (x)的最小值；（2）当a1时，讨论函数 f (x)的零点个数。5、（东城区2015届高三二模）已知函数 （）当时，求在区
2、间上的最小值； （）求证：存在实数，有.6、（房山区2015届高三一模）已知，其中()若函数在点处切线斜率为，求的值；()求的单调区间；()若在上的最大值是，求的取值范围7、（丰台区2015届高三一模）设函数，（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）在（）的条件下，求证： ；（）当时，求函数在上的最大值8、（海淀区2015届高三二模）已知函数. （）求函数的零点及单调区间；（）求证：曲线存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标.9、（石景山区2015届高三一模）已知函数()若，求函数的极值；()设函数，求函数的单调区间；()若存在，使得成立，求的取值范围10、（西城区2015届高三一模）设nN*，函数
3、，函数，x(0，+)，（1）当n =1时，写出函数 y = f (x) 1零点个数，并说明理由；（2）若曲线 y = f (x)与曲线 y = g(x)分别位于直线l : y =1的两侧，求n的所有可能取值。11、（北京四中2015届高三上学期期中）已知函数（）若为的极值点，求实数a的值；（）若在上为增函数，求实数a的取值范围.12、（朝阳区2015届高三上学期期中）已知函数.()求函数的单调区间;（）若在上是单调函数，求的取值范围.13、（东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试）已知定义在上的函数，。（I）求证：存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；（II）若且对任意的恒成立，求的最大
4、值。14、（昌平区2015届高三上学期期末）已知函数f (x) ln xa2x2ax (a)( I ) 当a1时，求函数f (x)的单调区间；( II ) 若函数f (x)在区间 (1，)上是减函数，求实数a的取值范围15、（朝阳区2015届高三上学期期末）设函数（）当时,求函数的单调区间；（）设为的导函数，当时，函数的图象总在的图象的上方，求的取值范围16、（大兴区2015届高三上学期期末）已知.（）若，求在处的切线方程；（）确定函数的单调区间，并指出函数是否存在最大值或最小值参考答案1、解析:（） 因为，所以， 又因为，所以曲线在点处的切线方程为（）令，则因为，所以在区间上单调递增所以,即
5、当时，（）由（）知，当时，对恒成立当时，令，则所以当时，因此在区间上单调递减当时，即所以当时，令并非对恒成立综上可知，的最大值为2、证明：，时，从而在上单调递减，所以在上的最大值为，所以.法一：当时，“”等价于“”；“”等价于“”，令，则.当时，对任意恒成立.当时，因为对任意，所以在区间上单调递减.从而对任意恒成立.当时，存在唯一的，使得，且当时，单调递增；当时，单调递减。所以。进一步，“对任意恒成立”当且仅当，即.综上所述，当且仅当时，对任意恒成立；当且仅当时，对任意恒成立.所以，若对任意恒成立，则的最大值为，的最小值为.法二：令，则，由知，故在上单调递减，从而的最小值为，故，的最大值为.的
6、最小值为，下面进行证明：，则，当时，在上单调递减，从而，所以，当且仅当时取等号.从而当时，.故的最小值小于等于。若，则在上有唯一解，且时，故在上单调递增，此时,与恒成立矛盾，故，综上知：的最小值为.3、解：(1)设，则.所以f(1)1.所以L的方程为yx1.(2)令g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)0(x0，x1)g(x)满足g(1)0，且g(x)1f(x).当0x1时，x210，ln x0，所以g(x)0，故g(x)单调递减；当x1时，x210，ln x0，所以g(x)0，故g(x)单调递增所以，g(x)g(1)0(x0，x1)所以除切点之外，曲线C在直线
7、L的下方4、 5、解：（）当时，. 因为， 由，. 则， 关系如下： 极小值 所以当时，有最小值为. 5分（）“存在实数，有”等价于的最大值大于. 因为， 所以当时，在上单调递增， 所以的最大值为. 所以当时命题成立. 当时，由得. 则时， 关系如下：（1）当时 ， ，在上单调递减，所以的最大值. 所以当时命题成立.（2）当时， ，所以在上单调递减，在上单调递增. 所以的最大值为或. 且与必有一成立， 所以当时命题成立.（3） 当时 ，所以在上单调递增， 所以的最大值为. 所以当时命题成立. 综上：对任意实数都存在使成立. 13分6、解：()由题意得f (x)，x(1，)，由f (3)0a 3
8、分()令f (x)0x10，x21，当0a1时，x11时，1x20f(x)与f (x)的变化情况如下表x(1，1)1(1,0)0(0，)f (x)00f(x)f(1)f(0)f(x)的单调递增区间是(1,0)，f(x)的单调递减区间是(1，1)和(0，)综上，当0a1，f(x)的单调递增区间是(1,0)f(x)的单调递减区间是(1，1)，(0，)当a1时，f(x)的单调递减区间为(1，) 9分()由()可知当0af(0)0，所以0a1不合题意，当a1时，f(x)在(0，)上单调递减，由f(x)f(0)可得f(x)在0，)上的最大值为f(0)0，符合题意，f(x)在0，)上的最大值为0时，a的取
9、值范围是a1 13分7、解：（）当时， 所以 因为，即切线的斜率为， 所以切线方程为，即 4分（）证明：由（）知令，则 当时，在上单调递减，当时，在上单调递增， 所以当时，函数最小值是命题得证 8分（）因为，所以令，则 当时，设，因为，所以在上单调递增，且，所以在恒成立，即 所以当，在上单调递减；当，在上单调递增所以在上的最大值等于，因为，不妨设()，所以由（）知在恒成立，所以在上单调递增 又因为，所以在恒成立，即所以当时，在上的最大值为 13分8、解：（）令，得. 故的零点为. 1分（）. 3分令 ，解得 . 当变化时，的变化情况如下表：所以 的单调递减区间为，单调递增区间为. 6分（）令.
10、则. 7分因为 ，且由（）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线. 10分由得：.所以 .因为 ,所以 ，.所以 . 13分 9、（）的定义域为 1分当时， 2分由，解得.当时，单调递减；当时，单调递增；所以当时，函数取得极小值，极小值为； .4分（），其定义域为又 .6分由可得，在上，在上，所以的递减区间为；递增区间为 .7分（III）若在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得即在上的最小值小于零 8分当，即时，由（II）可知在上单调递减故在上的最小值为，由，可得 9分因为所以； 10分当，即时，由（II）可知在上单调递减，在上单调递增在上最小值为 11分因为，所以，即不满足题意，舍去 12分综上所述: 13分10、11、（）解：1
