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1、名校精品资料数学7.3基本不等式及其应用1.基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号.2.几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR).(2)2(a，b同号).(3)ab2 (a，bR).(4)2 (a，bR).3.算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是.
2、(简记：和定积最大)1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)ab()2成立的条件是ab0.()(3)函数f(x)cos x，x(0，)的最小值等于4.()(4)x0且y0是2的充要条件.()(5)若a0，则a3的最小值为2.()(6)a2b2c2abbcca(a，b，cR).()2.若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是_.(填序号)a2b22abab22答案解析a2b22ab(ab)20，错误.对于，当a0，b0，2 2.3.设x，yR，a1，b1，若axby3，ab2，则的最大值为_.答案1解析由axby3，得：xloga3，ylo
3、gb3，由a1，b1知x0，y0，log3alog3blog3ablog321，当且仅当ab时“”成立，则的最大值为1.4.圆x2y22x4y10关于直线2axby20 (a，bR)对称，则ab的取值范围是_.答案解析由题可知直线2axby20过圆心(1,2)，故可得ab1，又因ab2 (ab时取等号).故ab的取值范围是.5.(2013天津)设ab2，b0，则当a_时，取得最小值.答案2解析由于ab2，所以，由于b0，|a|0，所以2 1，因此当a0时，的最小值是1；当a0，y0，且2xy1，则的最小值为_；(2)当x0时，则f(x)的最大值为_.思维启迪利用基本不等式求最值可以先对式子进行
4、必要的变换.如第(1)问把中的“1”代换为“2xy”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式.答案(1)32(2)1解析(1)x0，y0，且2xy1，332.当且仅当时，取等号.(2)x0，f(x)1，当且仅当x，即x1时取等号.思维升华(1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.(1)已知正实数x，y满足xy1，则(y)(x)的最小值为_.(2)已知x，yR，且满足1，则xy的最大值为_.
5、答案(1)4(2)3解析(1)依题意知，(y)(x)1122 4，当且仅当xy1时取等号，故(y)(x)的最小值为4.(2)x0，y0且12，xy3.当且仅当时取等号.题型二不等式与函数的综合问题例2(1)已知f(x)32x(k1)3x2，当xR时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是_.(2)已知函数f(x)(aR)，若对于任意xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_.思维启迪对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围. 答案(1)(，21)(2)，)解析(1)由f(x)0得32x(k1)3x20，解得k13x，而3x2(当且仅当3x，即xlog3时，等号成立)，
6、k12，即kg(3)，g(x)min.(x)3，a，故a的取值范围是，).思维升华(1)af(x)恒成立a(f(x)max，af(x)恒成立a0恒成立，故a0.当0，即1a0时，应有f()110恒成立，故1a0.综上，a.方法二当x(0，)时，不等式x2ax10恒成立转化为a(x)恒成立.又(x)x在(0，)上是减函数，(x)min()，(x)max，a.题型三基本不等式的实际应用例3某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最
7、大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维启迪把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200元列等式，利用基本不等式即可求解.解设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积Sxy，依题设，得40x245y20xy3 200，由基本不等式得3 200220xy12020xy12020S，则S61600，即(10)(16)0，故010，从而0q0，则提价多的方案是_.答案(1)80(2)乙解析(1)设每件产品的平均费用为y元，由题意得y12 20.当且仅当(x0)，即x80时“”成立.(2)设原价为1，则提价后的价格为方案甲：(1p%)(1q%)，方案乙：(1%)2，因为1%，且pq
8、0，所以1%，即(1p%)(1q%)(1%)2，所以提价多的方案是乙.忽视基本不等式等号成立的条件致误典例：(10分)(1)(2012浙江改编)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是_.(2)函数y12x(x0)的最小值为_.易错分析(1)对x3y运用基本不等式得的范围，再对3x4y运用基本不等式，利用不等式的传递性得最值；(2)没有注意到x0这个条件误用基本不等式得2x2.解析(1)由x3y5xy可得1，所以3x4y(3x4y)()2 5，当且仅当x1，y时取等号，故3x4y的最小值是5.(2)x0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.失误与防范1.使用基本不
9、等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、填空题1.已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为_.答案解析0x0.x(33x)3x(1x)32.当且仅当x1x，即x时取等号.2.若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于_.答案3解析f(x)xx22.x2，x20.f(x)x222 24，当且仅当x2，即x3时，“”成立.又f(x)在xa处取最小值.a3.3.若a0，b0，且ln(ab)0，则的最小值是_.答案4解析由a0，b0，ln(ab)0得.故4.当且仅当ab时上式取“”.4.(2012福建改编)下列不等式一定成立的是_.(填序号)lglg x(x0)sin x2(xk，kZ)x212|x|(xR)1(xR)答案解析应用基本不等式：x，yR，(当且仅当xy时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.当x0时，x22xx，所以lglg x(x0)，故不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，当xk，kZ时，sin x的正负不定，故不正确；由基本不等式可知，正确；当x0时，有1，故不正确.5.设x，yR，且xy0，则(x
