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1、1.三元一次方程的概念三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.如x+y-z=1, 2a-3b+c=0等都是三元一次方程.2.三元一次方程组的概念一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.例如， 等都是三元一次方程组.三元一次方程组的一般形式是：3.三元一次方程组的解法（1）解三元一次方程组的基本思想解二元一次方程组的基本思想是消元，即把二元一次方程转化为一元一次方程求解，由此可以联想解三元一次方程组的基本思想也是消元，一般地，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再
2、求出另一个未知数.（2）怎样解三元一次方程组？解三元一次方程组例题1.解方程组法一：代入法分析：仿照前面学过的代入法，将（2）变形后代入（1）、（3）中消元，再求解解：由（2），得 x=y+1 （4）将（4）分别代入（1）、（3）得解这个方程组，得把y=9代入（4），得x=10因此，方程组的解是法二：加减法解：（3）-（1），得 x-2y=-8 （4）由（2），（4）组成方程组解这个方程组，得把x=10，y=9代入（1）中，得 z=7因此，方程组的解是法三：技巧法分析：发现（1）（2）所得的方程中x与z的系数与方程（3）中x与z的系数分别对应相等，因此可由（1）+（2）-（3）直接得到关于y的
3、一元一次方程，求出y值后再代回，即可得到关于x、y的二元一次方程组解：由（1）（2）-（3），得 y=9把y=9代入（2），得 x=10把x=10，y=9代入（1），得 z=7因此，方程组的解是注意：（1）解答完本题后，应提醒同学们不要忘记检验，但检验过程一般不写出.（2）从上述问题的一题多解，使我们体会到，灵活运用代入法或加减法消元，将有助于我们迅速准确 求解方程组2.解方程组分析：在这个方程组中，方程（1）只含有两个未知数x、z，所以只要由（2）（3）消去y，就可以得到只含有x，z的二元一次方程组解：（2）3（3），得11x7z=29， （4）把方程（1），（4）组成方程组解这个方程组，得
4、，把x=-,z=5代入(2)得3(-)+2y+5=8,所以y=因此，方程组的解是3.解方程组分析：用加减法解，应选择消去系数绝对值的最小公倍数最小的未知数.解：（1）（3），得 5x+5y=25（4）（2）（3）2，得 5x+7y=31（5）由（4）与（5）组成方程组解这个方程组，得把x=2，y=3代入（1），得32+23z=13，所以 z=1因此，方程组的解是4.解方程组分析：题目中的y:x=3:2,即y=法一：代入法解：由（2）得x=y (4)由（3）得z= (5) 将（4），（5）代入（1），得+y+y=111所以 y=45把y=45分别代入（4）、（5），得x=30，z=36因此，方程
5、组的解是法二：技巧法分析：yx=32，即xy=23=1015，而yz=54=1512，故有xyz=101512因此，可设x=10k，y=15k，z=12k将它们一起代入（1）中求出k值，从而求出x、y、z的值解：由（2），得xy=23，即xy=1015由（3），得yz=54，即yz=1512所以 xyz=101512设x=10k，y=15k，z=12k，代入（1）中得10k+15k+12k=111，所以 k=3故x=30，y=45，z=36因此，方程组的解是5.解方程组分析：1) 观察原方程组，我们准备先消去哪一个未知数？2) 为什么要先消去z?注意到三个方程中都含有三个未知数，而在方程(3)
6、中z一项的系数是-1，所以未 知数z易消.3) 怎样在(1)和(2)中消去z?4) 解这个关于x、y的方程组，求x和y的值是多少？5) 怎样去求z的值？能不能把x=5, y=0代入(3)中去求z？解：(1)+(3)4 得17x+5y=85 (4)(3)3-(2) 得7x-y=35 (5)(4)、(5)组成方程组解得把x=5, y=0代入(3)，得15-z=18,所以z=-3, 所以总结：解三元一次方程组的一般步骤：1.利用代入法或加减法，把方程组中的某一个未知数消去，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；2.解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值；3.将求得的两个未知数的值代入原方程组中
7、的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；4.解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；5.将求得的三个未知数的值用“”合写在一起，即可.练习：1解方程组 2解方程组 3已知方程组 的解使代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值.练习答案1 分析：根据各方程中系数的特点，将方程(1)分别与方程(2)、方程(3)组成两组，利用加减法消去y比较简便.解：(1)+(2), 有 5x-z=14 (4)(1)+(3), 有 4x+3z=15 (5)再解由(4)、(5)构成的二元一次方程组(4)3, 得15x-3z=42 (6)(5)+（6），得19x=57, x=3.把x=3代入(4)，得z
8、=1. 把x=3, z=1代入(3)，得y=8. 因此，方程组的解是注意：解三元一次方程组，要先根据各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元.2法：代入法解：由(1)，得3y=2x, (4)由(2)得 5z=y， (5)把(4)和(5)代入(3)，得，解得y=10.把y=10分别代入(4)和(5)，得 因此，方程组的解是法二：技巧法解：由(1)，得xy=1510(根据分数的基本性质)，由(2)，得yz=102. xyz=15102.设x=15k, y=10k, z=2k 并代入(3)，得15k+10k-22k=21,解得 k=1. x=15, y=10, z=2. 小结：此方程
9、组是三元一次方程组，这类方程组一般有两种基本解法，一是将比例式化为等积式，把(1)变为，(2)变为，然后代入(3)，可消去两个未知数x和z，得到关于y的一元一次方程；二是把方程(1)和(2)的两个比统一为xyz=15102然后设每一份为k,即x=15k, y=10k, z=2k，代入方程(3)可求出k，进而求得x, y, z的值.3分析：由题意可知，此方程组中的a是已知数，x、y、z是未知数，先解方程组，求出x、y、z（含有a的代数式），然后把求得的x、y、z代入等式x-2y+3z=-10，可得关于a的一元一次方程.解这个方程，即可求得a的值.法：解：(2)-(1)，得z-x=2a (4)(3)+(4)，得2z=6a, z=3a.把z=3a分别代入(2)和(3)，得y=2a, x=a.把x=a, y=2a, z=3a代入x-2y+3z=-10，得a-22a+33a=-10, 解得.法二：技巧解法解：(1)+(2)+(3)，得2(x+y+z)=12a, 即x+y+z=6a (4)(4)-(1),得z=3a;(4)-(2),得x=a;(4)-(3),得y=2a.以下同解法，略.注意：当方程组中三个方程的未知数的系数都相同时，可以运用此题解法二中的技巧解这类三元一次方程
