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1、数列求通项公式的常见题型与解题方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础.高考对本章的考查比较全面, 等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏有关数列的试题经常是综合题，经常把数列 知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列， 求极限和数学归纳法综合在一起探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现本 章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论 等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.数列这一章的主要章节结构为：数列函数an=f(n)的图像值域(有界，无界单调性(递增数列，遇减数列，敷判的函敷性*摧
2、功数列，常数列)坨值最大fir阜小值)周期性(周期数列|*定义；按一足忒制列的一列数等差数列:定义、通项公丸 中项公心前n顶和S.公式、性质”等比数列:定义.通项公式.中项会式、前n项和S”公式、性慣*数列的应用、递描公武(1)数列本身的有关知识,(2)数列与其它知识的(3)数列的应用问题，其近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面： 其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式. 结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合.中主要是以增长率问题为主试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大 都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函
3、数、不等式的综合作为 最后一题难度较大.题型1已知数列前几项求通项公式在我们的教材中，有这样的题目：1.数列 0,、.2,0, .、.2l 的通项 an 2.数列3.数列1、an1 LL5$L821 22 3 3 441的通项an,1和 62,1n为奇数n为偶数2、an的通项an1(1)n(n 1)3、an 1+ ( 1)n1|n-(2n)练习42 14521;an5例1.写出下面数列的一个通项公式,2 2(1)宁耳23使它的前4项分别是下列各数:2(n 1)2 1 n 11 J12 2 31(1)nn(n 1)例2.观察下面数列的特点,写出每个数列的一个通项公式:(1) 1,7, 13,19
4、丄;an(1)n(6 n 5)(2) 7,77,777,7777,77 777,L ;an7(10n 1)9(3) 5,0, 5,0,5,0, 5,0,L .an 5sin 例3:写出下面数列的一个通项公式：23,-,3,-,L .an5 2 11 7 17313131( 1)n 2(1)吒，,，丄;an23 45 61已知数列an的前n项和S1 22(nn)，则 an2、已知数列a*的前n项和Sn3 2n，则an(an-1 )(n N ).13、设数列an的前项的和Sn=-3(I)求a1; a2；(n )求证数列an为等比数列.4、 数列a n的前n项和 s=3 2n-3,求数列的通项公式2
5、5、设数列an的前n项和为S=2n+3n+2,求通项an的表达式，并指出此数列是否为等差 数列.6、已知数列an的前n项和为S, a 2,且na”1=S+n(n+1)，求an.7、已知数列an的前n项和Sn满足：Sn=2an +(-1)n,nN.求数列an的通项公式;17Lam 8(I)写出求数列an的前3项ai,a2,a3； (n)(川)证明：对任意的整数m4,有 丄丄a4 a57、解：当n=1 时，有：S1=a1=2a1+(-1)a1=1;当 n=2 时，有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0;n=3 时，有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3 a3=2 ;综上可知 ai
6、=1,a2=0,a3=2;由已知得:anSnSn2an(1)n 2an1)n1化简得：ann 12an 12( 1)上式可化为:an2(1)n2an 12( 1)n13故数列an2(1) 是以312(11)为首项，公比为2的等比数列.2 故 an3(31)n1 2n 13数列an的通项公式为:A2 an 泸 2 (1)n.1由已知得：-a4a5am12331?2n 2 ( 1)n32m131511533632m 21(1)m11111121L513104151201E1051201 1-(1 -521 127.故 118a4a51 423 5 5g217_ ( m4). am 8题型3已知数列
7、递推公式求通项公式(公式法)1、 已知数列an的首项ai 1，且an1 3(n 2)，则.2、 数列an中，ai 1,ani务 2，求a.的通项公式1 13、已知数列an满足a11,1，求an.an 1 a n2a4、 数列an中，a1 1,an 1 n ，求an的通项公式.an 25、 已知数列an的首项a1 1，且an 3a. 1(n 2)，则a. .6、 已知数列an的 a1 1, a2 2 且 an 2 2a“ 1 a* 则 a. .(累加法与累积法)1数列an中，a1 1,an 1 an n，求an的通项公式.2、 数列an中，a1 1,务1务3n 1，求a.的通项公式.3、已知数列
8、an满足a.1a.2n 1,a11，求数列a.的通项公式。4、已知数列an满足an1an2 3n1,a13，求数列an的通项公式。n 15、 已知数列an的首项a1 1，且anan 1(n 2)，则an _.n6、 已知数列an满足a. 1 2(n 1)5n a.,印3，求数列an的通项公式。(构建新数列)1、已知数列an的首项ai1，且 an 2an 13(n2)，则 a.2、数列an中，ai2,an1 3an2，求an的通项公式.3、已知数列an满足an2an2n,a12，求数列an的通项公式。4、已知数列an满足an3an3n1， a13，求数列an的通项公式。5、已知数列an满足an2
9、ana16，求数列an的通项公式。6、已知数列an满足an3an5 2n4，a11，求数列an的通项公式。7、已知数列an满足an 12an3 n24n 5, a1 1，求数列an的通项公式。已知数列an满足an 1an犁 12，a1 -，求数列an的通项公式。(2n1)2(2 n 3)299、已知数列an满足an 12，a14an14，求数列an的通项公式。10、已知数列an满足an 17an 2 a12a n 32，求数列an的通项公式。3、解：an1 2an 3 2n两边除以 2n 1，得；：1 ； |，则1弓，an 1尹ann 12n331(n 1)，所以数列an的通项公式为an (n
10、)2n。2224、解:an 1 3an 2 3n 1 两边除以3n 1，得：1：:11，3n 13n33n 1故数列自是以21为首，以I为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得an6、解：设 an 1 x 2n 1y 3(an x2n y)将 an 13an52n4代入式，得3an 5 2n 4 x 2n1 y 3(anx 2n y)5 2x 3xx5整理得(52x) 2n 4y 3x 2n3y。令，则代入式，得4 y 3yy2an 15 2n 12 3(an5 2n 2)(2丄)33n2(n 1)3则an5、解：设an将an 12an，得 3得an 1由a1以a1513nan（I2(n1)
11、2an5n5n513n5n 1(an 1an 1（I3n2(anan 2)(an 2 an 3 )(I1尹）a1 a13n 1)2n 1T 23 5n代入式,x 5n 1 2x 5n2(an 5n)得2an两边除以5n5n5 1丰0及式,得 an 5n1为首项，以2为公比的等比数列，则32)，得30，则3n5nanannan 52an2x5n12n2x 5n，等式两边消去则x= 1,代入式,2，则数列an 5n是故an2n 15n 。由 a15 212 1 1213 0及式，得an 5 2n 2则am 52n1an 5 2n 2故数列an 52n 2是以1a15 212 11213 为首项,为公比的等比数列,此an2n13 3n 1，则 an 13 3n 152n 2。7、解:an 1x(n 1)2y(n 1) z 2(an2xn ynz)a1an将an 12an3 n24n5代入式，得22an 3 n4n 5x(n1)2y(n 1)z 2(anxnynz），则2an (3 x) n2(2x22an 2xn 2yn2z等式两边消去2an，得（34)nx)n23 x 2x则得方程组 2x y 4 2y ，x y z 5由a1an3 123n28、解：由2z(x y z(2x5)4)n (x5)22xn 2yn2z23(n 1)2 1
