《福建师范大学21秋《常微分方程》复习考核试题库答案参考套卷48》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建师范大学21秋《常微分方程》复习考核试题库答案参考套卷48（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、福建师范大学21秋常微分方程复习考核试题库答案参考1. 设X是度量空间，f：X证明f连续的充要条件是对每个a，集合xX：f(x)a与xX：f(x)a都是闭集设X是度量空间，f：X证明f连续的充要条件是对每个a，集合xX：f(x)a与xX：f(x)a都是闭集证明方法1 必要性 设f连续，则 xX：f(x)a=f-1(a，)与 xX：f(x)a=f-1(-，a) 都是闭集的逆像，从而都是闭集 充分性 设X的度量拓扑为，上的通常拓扑为由题设有 f-1(-，a)=f-1(a，)c)=(f-1(a，)c f-1(a，)=f-1(-，ac)=(f-1(-，a)c 从而对c，d，cd，f-1(c，d)=f-
2、1(c，)f-1(-，d)由于每个V是若干个形如(-，a)，(a，)，(c，d)类型的开区间之并，故对每个V，有f-1(V)因此f是连续的 方法2 令Ga=x：f(x)a，Ha=x：f(x)a 必要性 设xnGa，xnx0(n)，则f(xn)a令n，由f连续得f(x0)a，故x0Ga这表明Ga是闭集同理可知Ha是闭集 充分性 假设f在某点x0X不连续，则00，n，xnX，(xn，x0)1/n，但f(xn)-f(x0)|0于是 xnx0(n)且 由是闭集得出x0，即f(x0)f(x0)+0与f(x0)f(x0)-0必有一个成立，这是矛盾的因此f在X上连续 2. 证明：对任一多项式p(x)，一定存
3、在x1与x2，使p(x)在(-，x1)与(x2，+)上分别严格单调。证明：对任一多项式p(x)，一定存在x1与x2，使p(x)在(-，x1)与(x2，+)上分别严格单调。正确答案：3. 已知1，2为2维列向量，矩阵A=(21+2，1-2)，B=(1，2)若行列式|A|=6，则|B|=_已知1，2为2维列向量，矩阵A=(21+2，1-2)，B=(1，2)若行列式|A|=6，则|B|=_-2 其中，|C|=-30 所以B=AC-1， 从而|B|=|A|C|-1=-2 方法点击 也可用行列式性质来解：|A|=|21+2，1-2|-|31，1-2|=3|1，1-2|=3|1，-2|=-3|1，2|=-
4、3|B|，故|B|=2 4. 曲线y=f(x)关于直线y=x对称的必要条件是( )A.f(x)=xB.f(x)=1/xC.f(x)=-xD.ff(x)=x参考答案：D5. 罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。( )A.错误B.正确参考答案：B6. 下列说法不正确的是( )。A.无穷小的和仍为无穷小B.无穷大的和仍为无穷大C.有界函数与无穷大的乘积仍为无穷大D.收敛数列必有界参考答案：ABC7. 单叶双曲面，过点(1，0，0)的所有直母线方程为_。单叶双曲面，过点(1，0，0)的所有直母线方程为_。和8. 偏序集合的哈斯图一定是一个连通图( )偏序集合的哈斯图一定是一个连通图()错误9.
5、举例说明：若级数，对每个固定的p满足条件 此级数仍可能不收敛。举例说明：若级数，对每个固定的p满足条件此级数仍可能不收敛。调和级数对每一个固定自然数p，有 但该级数是发散的 10. 设f(x，y，z)=Ax2By2Cz2DxyEyzFzx，试按h，k，l的正数幂展开f(xh，yk，zl)设f(x，y，z)=Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz+Fzx，试按h，k，l的正数幂展开f(x+h，y+k，z+l)11. f(x)=|cosx|+|sinx|的最小正周期是( )A./4B./2C.D.2参考答案：B12. 函数y=6x-5-sin(ex)的一个原函数是6x-cos(ex)。( )A.正
6、确B.错误参考答案：B13. 利用夹逼准则，求(a0)利用夹逼准则，求(a0)当a1时，而(n)，由夹逼准则知. 当0a1时，而(n)，由夹逼准则知所以 14. 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则( ) A当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数 B当f(x)是偶函数时，F设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则()A当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数B当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C当f(x)是周期函数，F(x)必为周期函数D当f(x)是单调增函数，F(x)必为单调增函数15. 微分方程yy=x21sinx的特解形式可设为( ) Ay*=ax2b
7、xcx(AsinxBcosx) By*=x(ax2bxcAsin微分方程y+y=x2+1+sinx的特解形式可设为()Ay*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)By*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)Cy*=ax2+bx+c+AsinxDy*=ax2+bx+c+AcosxA16. 把长为的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大?把长为的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大?正确答案：设一段长为x则另一段长为-x矩形面积为f(x)=x(-x)则f(x)=-2x=0故x=/2f(x)=-20故x=/2是f(x)的极大值
8、点。 rn 故当两段等长度截开时以这两线段为边所组成的矩形面积最大。设一段长为x,则另一段长为-x,矩形面积为f(x)=x(-x),则f(x)=-2x=0,故x=/2,f(x)=-20,故x=/2是f(x)的极大值点。故当两段等长度截开时,以这两线段为边所组成的矩形面积最大。17. 设函数f和g分别为f(x)=2x+1，g(x)=x2-2，试找出定义复合函数的数学公式设函数f和g分别为f(x)=2x+1，g(x)=x2-2，试找出定义复合函数的数学公式因为f(x)=2x+1，g(x)=x2-2， 所以=g(f(x)=g(2x+1)=(2x+1)2-2 =4x2+4x+1-2=4x2+4x-1
9、18. Z2上周期为7的拟完美序列a=1001011的递推关系式是A、ak3=ak1akB、ak2=ak1akC、ak2=ak1aZ2上周期为7的拟完美序列a=1001011的递推关系式是A、ak+3=ak+1-akB、ak+2=ak+1-akC、ak+2=ak+1+akD、ak+3=ak+1+ak正确答案： D19. 已知4阶方阵A=(1，2，3，4)，1，2，3，4均为4维列向量，其中2，3，4线性无关，1=22-3，如果=1+2+3+4已知4阶方阵A=(1，2，3，4)，1，2，3，4均为4维列向量，其中2，3，4线性无关，1=22-3，如果=1+2+3+4，求线性方程组Ax=的通解由可
10、得 x11+x22+x33+x44=1+2+3+4，将1=22-3代入后整理可得(2x1+x2-3)2+(-x1+x3)3+(x4-1)1=0而2，3，4线性无关，则有 解得：，其中k为任意常数，此即方程组Ax=的通解 20. 证明：若齐次线性微分方程组的每个解当t+时有界，则零解是稳定的。证明：若齐次线性微分方程组的每个解当t+时有界，则零解是稳定的。设是方程组的基解矩阵， 即 ， 于是方程组的所有解可表示成形式(C为任一常数矩阵)。由方程组的每个解有界知，不等式成立(M是一常数)。因此， 对，取，从不等式x(t0)=C有 x(t)MCM=， 故零解是稳定的 21. 按分散相质点的大小不同可
11、将分散体系分为_。按分散相质点的大小不同可将分散体系分为_。正确答案：低分子分散系；胶体分散系；粗分散系低分子分散系；胶体分散系；粗分散系22. 定积分是微分的逆运算。( )A.正确B.错误参考答案：B23. 设f：ZZZ，Z为整数集，n，kZZ，f(n，k)=n2k，求f的值域设f：ZZZ，Z为整数集，n，kZZ，f(n，k)=n2k，求f的值域ranf=n2k|n，kZ=Z24. 求函数在此点的内法线方向上的导数求函数在此点的内法线方向上的导数25. 求直线L在平面：x-y+z+8=0上的投影直线方程求直线L在平面：x-y+z+8=0上的投影直线方程26. 求经过三点A(1,1,2)，B(
12、3,-2,0)，C(0,5,-5)的平面方程求经过三点A(1,1,2)，B(3,-2,0)，C(0,5,-5)的平面方程设平面方程为ax+by+cz+d=0 由于点A,B,C在平面上，故点的坐标满足平面方程组，即 设(x,y,z)是平面上任意一点，得以a,b,c,d为未知量的齐次方程组 因为a,b,c,d不全为零，说明方程组有非零解，即D=0，故系数行列式 由此可知平面方程为29x+16y+5z-55=0 27. 设f(x)(x0)单调非降且恒大于0，又设X是一离散型随机变量且Ef(X)存在证明：对任意的t0，设f(x)(x0)单调非降且恒大于0，又设X是一离散型随机变量且Ef(X)存在证明：对任意的t0，设X的分布律为PX=ak=pk，k=1，2， 因为f(x)(x0)单调非减，故当t|ak|时，f(t)f(|ak|)于是，对任意的t0， 28. 当x0时，确定无穷小量y的主要部分cxn(c是常数)：y=tan(sinx)-sin(tanx)当x0时，确定无穷小量y的主要部分cxn(c是常数)：y=tan(sinx)-sin(tanx)首先建立展式 事实上，将tanx表为 并利用展式2)、3)、4)，得 即为所求的结果 利用此公式以及先前的展式得
