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1、数学分析中极限的求法摘要 : 本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1 ：利用两个准则求极限 , 2: 利用极限的四则运算性质求极限 , 3: 利用两个重要极限公式求极限 , 4：利用单侧极限求极限， 5：利用函数的连续性求极限 , 6 ：利用无穷小量的性质求极限 , 7 ：利用等价无穷小量代换求极限 , 8 ：利用导数的定义求极限 , 9 ：利用中值定理求极限 , 10：利用洛必达法则求极限 , 11：利用定积分求和式的极限 ,12 ：利用级数收敛的必要条件求极限 , 13 ：利用泰勒展开式求极限 , 14 ：利用换元法求极限。关键词 : 夹逼准则 , 单调有界准则 , 无穷小量的性
2、质 , 洛必达法则 , 中值定理 ,定积分 ,泰勒展开式 ,级数收敛的必要条件 .极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数 yf(x) 在 xx0 处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。 极限是贯穿数学分析的一条主线。 学好极限是从以下两方面着手。 1：是考察所给函数是否存在极限。 2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。 本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下， 如何去求极限进行综述。1：利用两个准则求极限。(1) 夹逼准则 ：若一正整数 N, 当
3、nN时，有 xnlim xnlim zna,ynzn 且 xx则lim yna有 x.利用夹逼准则求极限关键在于从xn 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列yn和zn，使得ynxnzn。11.1xnn2n2例 1n212n求 xn 的极限解：因为 xn 单调递减，所以存在最大项和最小项1/18111nxnnn2n.nn2nn2n211.1nxn1n21n21n2 1n2nxnn则 n2nn21limnn1n2lim又因为 xnxn21lim xn1x（ 2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列
4、的通项递推公式求极限。例： 1证明下列数列的极限存在，并求极限。y1a, y2aa , y3aaa , ynaaaa证明：从这个数列构造来看yn 显然是单调增加的。用归纳法可证。又因为 y2ay1 , y3ay2 , yna yn 1所以得 yn2ayn 1 .因为前面证明 yn 是单调增加的。yna1ynyn两端除以得aaaa 1因为 yny1a , 则 yn1, 从而 ynayna1即 yn 是有界的。根据定理yn有极限，而且极限唯一。lim ynl则limyn2lim( yn 1 a)令nnn2/1814a1则 l 2l a .因为yn0,解方程得 l2lim yn14a1所以l2n2：
5、利用极限的四则运算性质求极限极限的四则运算性质： 1：两收敛数列的和或积或差也收敛且和或积或差的极限等于极限和的或积或差。 2 ：两收敛数列且作除数的数列的极限不为零，则商的极限等于极限的商。 通常在这一类型的题中， 一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。 首先对函数施行各种恒等变形。 例如分之，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。例；求极限limx21(1)x1x1 2x2lim1x2(2)x3x3(3)lim(11x33)x1x1xn111,lim xn(4)已知1223(n1)n求 n解：(1)limx21
6、lim( x1)( x1)limx12x1 2x2x1 x 1(x1)(2 x1) x 1 2x1 3lim1 x 2( 1 x 2)( 1 x 2)limx 31(2)x3lim( x3)( 1 x2)(x 3)( 1 x2)4x3 x3 x 3(3)lim(11x33)x1x1x2x2lim(x 1)( x2)x2limlimx3(x 1)(x2 x11 x1x 1) x1 x2x 1 -13/18xn111(4)1 223(n,因为1) n111111111113 344n 1 n 1 n12 2nlim xnlim(11)1所以 nnn3：利用两个重要极限公式求极限lim sin xl
7、im x sin 11两个极限公式 (1)x 0xxx1 )x1lim(1lim(1 x) xe(2)xxx 0在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。例：求下列函数的极限 4limlimcos x cos x2cos x3cos xn(1)n0n2222n2lim(12 )m(2)mm解： (1)cos x cos x2 cos x3cos xn22221xsin x cos x cos xcos xcos xsin x2 sin222232n2nn21sin x2n sin x2nlim cos x cos x2 cos x3cos xnn2222lim1sin xn 2n sin xn24/18sin x=lim 2n sin xn2nsin x xlimlimxcosxcosxcosxsin xcos23nlimx 0n22x122 x 022m2n22m2n 2(2)lim(1n2)mlim(1n2 )n 2 (m2 ) mlim(1n 2 )n2 (m )0mm mm mm e 14：利用单侧极限求极限这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。f ( x)x sin 1,x
