《最新【高考必备】优化方案高考数学浙江专用一轮复习练习：第7章立体几何第6讲空间向量及其运算Word版含答案[精品原创]优秀名师资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新【高考必备】优化方案高考数学浙江专用一轮复习练习：第7章立体几何第6讲空间向量及其运算Word版含答案[精品原创]优秀名师资料（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【高考必备】优化方案高考数学（浙江专用）一轮复习练习：第7章立体几何第6讲空间向量及其运算Word版含答案精品原创第6讲 空间向量及其运算 ,学生用书P149) 1(空间向量的有关定理 (1)共线向量定理:对空间任意两个向量a，b(b?0)，a?b的充要条件是存在唯一的实数，,b( 使得a(2)共面向量定理:如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p,xa，yb( (3)空间向量基本定理:如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p,xa，yb，zc(其中a，b，c叫做空间的一个基底( 2(两个向
2、量的数量积(与平面向量基本相同) (1)两向量的夹角 ?已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA,a，OB,b，则?AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b(通常规定0?a，b?(若a，b,，则称向量a，b2互相垂直，记作a?b. (2)两向量的数量积 两个非零向量a，b的数量积a?b,|a|b|cosa，b( (3)向量的数量积的性质 ?a?e,|a|cosa，e(其中e为单位向量); ?a?b?a?b,0; 22?|a|,a?a,a; ?|a?b|?|a|b|. (4)向量的数量积满足如下运算律 ?(a)?b,(a?b); ?a?b,b?a(交换律); ?a?(b，c),a?b，a
3、?c(分配律)( 3(空间向量的坐标运算 (1)设a,(a，a，a)，b,(b，b，b)( 123123a，b,(a，b，a，b，a，b)， 112233a,b,(a,b，a,b，a,b)， 112233a,(a，a，a)，a?b,ab，ab，ab， 123112233a?b?ab，ab，ab,0， 112233a?b?a,b，a,b，a,b(?R)， 112233a?bab，ab，ab112233cosa，b, . 222222|a|?|b|a，a，a?b，b，b123123(2)设A(x，y，z)，B(x，y，z)， 111222?则AB,OB,OA,(x,x，y,y，z,z)( 2121
4、211(辨明四个易误点 (1)注意向量夹角与两直线夹角的区别( (2)共线向量定理中a?b?存在唯一的实数?R，使a,b易忽视b?0. (3)共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的( (4)向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即(a?b)c,a(b?c)不一定成立( 2(建立空间直角坐标系的原则 (1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直( (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上( 3(利用空间向量坐标运算求解问题的方法 用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理;求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决;解决垂直问题一般可转化为
5、向量的数量积为零;求异面直线所成的角，一般可转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化( 1(已知a,(,2，,3，1)，b,(2，0，4)，c,(,4，,6，2)，则下列结论正确的是( ) A(a?c，b?c B(a?b，a?c C(a?c，a?b D(以上都不对 解析:选C.因为c,(,4,62),2a所以a?c.又a?b,0故a?b. 2(若向量a，b，c是空间的一个基底，向量m,a，b，n,a,b，那么可以与m，n构成空间另一个基底的向量是( ) A(a B(b C(c D(2a 解析:选C.因为a，ba,b分别与ab2a共面 所以它们分别与a，ba,b均不能构成一组
6、基底( 3(选修2-1 P97习题3.1 A组T2改编) ?在平行六面体ABCD-ABCD中，M为AC与BD的交点(若AB,a，AD,b，AA,c，111111111?则下列向量中与BM相等的向量是( ) 1111A(,a，b，c B.a，b，c 22221111C(,a,b，c D.a,b，c 22221?解析:选A.由题意根据向量运算的几何运算法则BM,BB，BM,AA，(AD,AB) 1112111,c，(b,a),a，b，c. 2224(选修2-1 P98 习题3.1 A组T8改编)已知a,(2，4，x)，b,(2，y，2)，若|a|,6，且a?b，则x，y的值为_( 解析:因为a,(
7、24x)|a|,6则x,?4 又b,(2y2)a?b 当x,4时y,3x，y,1. 当x,4时y,1x，y,3. 答案:1或,3 ?5(已知A(3，2，1)，B(1，0，4)，则线段AB的中点坐标和|AB|分别是_( 解析:设P(xyz)是AB的中点则 115?,OP,(OA，OB),(321)，(104),21 ,222?222d,|AB|,1,3,，,0,2,，,4,1,17. AB5,答案:2，1，17 ,2考点一 空间向量的线性运算学生用书P150 如图，在长方体ABCD-ABCD中，O为AC的中点( 111111?(1)化简AO,AB,AD,_( 122?(2)用AB，AD，AA表示
8、OC，则OC,_( 111111?解析 (1)AO,AB,AD,AO,(AB，AD),AO,AO,AO，OA,AA. 1111122211?(2)因为OC,AC,(AB，AD)( 221?所以OC,OC，CC,(AB，AD)，AA 111211?,AB，AD，AA. 12211?答案 (1)AA (2)AB，AD，AA 11222? 若本例条件不变，结论改为:设E是棱DD上的点，且DE,DD，若EO,113?xAB，yAD，zAA，试求x，y，z的值( 1?解:EO,ED，DO 21?,DD，(DA，DC) 132112?,AB,AD,AA 1223112由条件知x,y,z,. 223用已知向
9、量表示某一向量的方法 用已知不共面的向量表示某一向量时应结合图形将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中然后利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知向量表示出来. 1.在三棱锥O-ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是?ABC?的重心，用基向量OA，OB，OC表示OG，MG. ?解:OG,OA，AG 2?AN ,OA，32?,OA，(ON,OA) 321?，,OA，,OB，OC,OA ，32111?,OA，OB，OC 33311111111?MG,OG,OM,OG,OA,OA，OB，OC,OA,OA，OB，OC. 23332633考点二 共线、共面向量定理的应用学生用书P15
10、1 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证: (1)E，F，G，H四点共面; (2)BD?平面EFGH. 证明 (1)连接BG(图略) ?则EG,EB，BG 1?,EB，(BC，BD) 2?,EB，BF，EH ?,EF，EH 由共面向量定理的推论知EFGH四点共面( ?(2)因为EH,AH,AE 1111?,AD,AB,(AD,AB),BD 2222所以EH?BD.又EH?平面EFGH BD?平面EFGH所以BD?平面EFGH. (1)证明空间三点P、A、B共线的方法 ?PA,PB(?R), ?对空间任一点OOP,OA，tAB(t?R), ?对空间任一
11、点OOP,xOA，yOB(x，y,1)( (2)证明空间四点P、M、A、B共面的方法 ?MP,xMA，yMB, ?对空间任一点OOP,OM，xMA，yMB, ?对空间任一点OOP,xOM，yOA，zOB(x，y，z,1), ?PM?AB(或PA?MB或PB?AM)( 1? 2.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM,(OA3?，OB，OC)( ?(1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面; (2)判断点M是否在平面ABC内( ?解:(1)由题知OA，OB，OC,3OM ?所以OA,OM,(OM,OB)，(OM,OC) ?即MA,BM，CM,MB,MC ?所以MAMB
12、MC共面( ?(2)由(1)知MAMBMC共面且基线过同一点M 所以MABC四点共面从而点M在平面ABC内( 考点三 空间向量的数量积与坐标运算(高频考点)学生用书P151 通过近几年高考试题可以看出,试题以空间向量的运算为主,特别是数量积的运算及其应用,更是考查的热点,高考中对空间向量的数量积的考查主要有以下三个命题角度, (1)空间向量的数量积的运算， (2)线与线垂直问题， (3)线段长度问题, (1)(2014?高考广东卷)已知向量a,(1，0，,1)，则下列向量中与a成60?夹角的是( ) A(,1，1，0) B(1，,1，0) C(0，,1，1) D(,1，0，1) ?(2)已知空
13、间三点A(,2，0，2)，B(,1，1，2)，C(,3，0，4)(设a,AB，b,AC. ?求a和b的夹角的余弦值; ?若向量ka，b与ka,2b互相垂直，求k的值( a?b111解 (1)选B.对于选项B设b,(1,10)则cosab,. |b|2|a22因为0?ab?180?所以ab,60?正确,同理A、C、D不正确( ?(2)因为A(,202)B(,112)C(,304)a,ABb,AC 所以a,(110)b,(,102)( a?b,1，0，010?cos , |a|b|102510所以a和b的夹角的余弦值为,. 10?因为ka，b,k(110)，(,102),(k,1k2) ka,2b
14、,(k，2k,4)且(ka，b)?(ka,2b) 22所以(k,1k2)?(k，2k,4),(k,1)(k，2)，k,8,2k，k,10,0. 5解得k,或k,2. 2(1)空间向量数量积的计算方法 b的夹角为则a?b,|a|b|?cos. ?定义法:设向量a?坐标法:设a,(xyz)b,(xyz)则a?b,xx，yy，zz. 111222121212(2)数量积的应用 a?b?求夹角:设向量ab所成的角为则cos ,进而可求两异面直线所成的角( |a|b|2?求长度(距离):运用公式|a|,a?a可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题( ?解决垂直问题:利用a?b?a?b,0(a?0b?0)可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题( 3.(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点?E、F分别是BC、AD的中点，则AE?AF
