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1、 椭圆内接四边形面积的计算及应用 昭通市巧家县第一中学 侯成顺 云南师范大学数学学院 朱维宗(教授）摘要：本文通过类比圆锥曲线内接焦点三角形面积的计算,利用代数方法来探讨椭圆内接四边形面积的计算,主要讨论了两种椭圆内接四边形的面积计算,一种是椭圆内接焦点四边形,另外一种是椭圆内接以焦点为顶点的四边形.关键词： 椭圆；焦点； 面积 1.椭圆内接焦点四边形（过一个焦点,以右焦点为例）1.1定义：在椭圆中,AB,CD为过椭圆一个焦点的两条弦,故四边形ACBD为椭圆内接焦点四边形.1.2性质：(1)四边形ACBD的面积（其中, ）.证明：如右图所示,有,并且设AB,CD的斜率分别为,故有：AB: CD
2、：联立方程：及 同理有：故 （为AB与CD的夹角）,令 就有： .（2）推论A: 当时,.B:当时,并且有,.推论证明A：当时,说明AB, CD相互垂直,有,代入面积公式就有,再利用均值不等式有 .B : 当时, 有,代入就有成立.以下证明,.证明：不妨把椭圆的方程化为(与不同是为零),已知有AB,CD与x轴的夹角相等,设A、B、C、D四个点的坐标为,.直线AB、DC、AC、BD的斜率分别为,.又点A、C在曲线C上,（1）及（2）,用（2）带入（1）有,同理可得.已知有AB,CD与x轴的夹角相等,（3）及（4）由这两个式子得： （5） （6）由（5）及（6）得到：=0 （7） =0（8）同理有
3、： 将（8）代入有： （9）又 再将（8）代入得到： （10）用（9）-（10）得到：若=0 故有： 结合平行截割线定理有：AB与DC平行,并且都平行于x轴,它与AB,AC,DC,DB的斜率不为零矛盾, 说明直线AB,DC与x轴的夹角相等.同理可证明AD,BC与x轴的夹角也相等,有,.1.3实例应用 已知椭圆的离心率为,过右焦点F的直线L与曲线相交于A、B两点.当L的斜率为1时,C(0,b)到AB的距离为,延长CF交椭圆于点B,求ACBD的面积.解：由于e= 并且 、F(c,0)故AB的方程为： 又C(0,b)所以C到AB 的距离为d= 故椭圆的标准方程为： 又, 即AB与CD垂直,代入公式有
4、：=2椭圆内接焦点四边形（过两个焦点）2.1定义：在椭圆中,AB,CD为过椭圆右左两焦点的弦,并且交椭圆于四点A、B、C、D.则有四边形ACBD为过椭圆两个焦点的内接焦点四边形.2.2性质(1)面积：四边形面积 ,证明: 如右图所示,有(-c,0),并且设AB,CD的斜率分别为,故有AB: CD： . 联立方程：及 同理有： (为AB与CD的夹角),.（2）推论A: 当时,.B: 当时,并且有,.2.3实例应用设椭圆的左右焦点分别为(-1,0),.右准线交x轴于点A,.过,分别作两条直线与椭圆相交于四个点D、E、M、N.并且DE与x轴的夹角为.MN与直线L交于点G,并且有.求：（1）椭圆的标准
5、方程.(2)四边形DMEN的面积.解：（1）由于(-1,0),.又有A,故有： 同理, 所以椭圆的标准方程为：(2)由于已知了DE与x轴的夹角为,故有,又, 所以有设AN与DE的夹角为, 代入公式有：3椭圆内接以焦点为顶点的四边形3.1定义在椭圆 中,为其左右焦点,A、B为椭圆上任意的两点.则四边形称为双曲线以焦点为顶点的内接四边形.3.2性质（1）面积： 四边形的面积为证明：由椭圆的定义可知道：（1）由余弦定理有： (2)由（1）与（2）同理有: （为与的夹角; 为BF1与BF2的夹角）.（2）推论：当与互为补角时,有：.证明：当与互为补角时,所以有： 将其代入面积公式中就有;,(当时取到“
6、=”).3.3实例应用已知,为椭圆的两个焦点,A、B为椭圆上任意的两个焦点,并且与为补角,求：(1)当时,求的值.(2)当取得最小值时,与的度数分别为多少？此时面积的最小值为多少？解：（1）由已知a=8,b=5,又,并且与为补角,故有：所以有：(2)由推论可以知道: 参考资料：1董正洪圆锥曲线内接四边形面积的最值M数理化学习（高三）,2009,(3).2陈宇对椭圆焦点弦四边形面积最值探究J中学数学研究,2009,(4).3邱继勇圆锥曲线内接四边形的一个性质J中学数学研究,2005,(6).4王伯龙圆锥曲线中一类内接四边形性质的探究J中学数学月刊,2010,(11).5 舒金根圆锥曲线内接四边形的一个有趣新性质的简证及类似J中学数学研究,2011,(5).6马跃进、康宇圆锥曲线内接四边形的一个统一性质J中学数学研究,2011,(4).
