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1、 椭圆内接四边形面积的计算及应用 昭通市巧家县第一中学 侯成顺 云南师范大学数学学院 朱维宗(教授)摘要:本文通过类比圆锥曲线内接焦点三角形面积的计算,利用代数方法来探讨椭圆内接四边形面积的计算,主要讨论了两种椭圆内接四边形的面积计算,一种是椭圆内接焦点四边形,另外一种是椭圆内接以焦点为顶点的四边形.关键词: 椭圆;焦点; 面积 1.椭圆内接焦点四边形(过一个焦点,以右焦点为例)1.1定义:在椭圆中,AB,CD为过椭圆一个焦点的两条弦,故四边形ACBD为椭圆内接焦点四边形.1.2性质:(1)四边形ACBD的面积(其中, ).证明:如右图所示,有,并且设AB,CD的斜率分别为,故有:AB: CD
2、:联立方程:及 同理有:故 (为AB与CD的夹角),令 就有: .(2)推论A: 当时,.B:当时,并且有,.推论证明A:当时,说明AB, CD相互垂直,有,代入面积公式就有,再利用均值不等式有 .B : 当时, 有,代入就有成立.以下证明,.证明:不妨把椭圆的方程化为(与不同是为零),已知有AB,CD与x轴的夹角相等,设A、B、C、D四个点的坐标为,.直线AB、DC、AC、BD的斜率分别为,.又点A、C在曲线C上,(1)及(2),用(2)带入(1)有,同理可得.已知有AB,CD与x轴的夹角相等,(3)及(4)由这两个式子得: (5) (6)由(5)及(6)得到:=0 (7) =0(8)同理有
3、: 将(8)代入有: (9)又 再将(8)代入得到: (10)用(9)-(10)得到:若=0 故有: 结合平行截割线定理有:AB与DC平行,并且都平行于x轴,它与AB,AC,DC,DB的斜率不为零矛盾, 说明直线AB,DC与x轴的夹角相等.同理可证明AD,BC与x轴的夹角也相等,有,.1.3实例应用 已知椭圆的离心率为,过右焦点F的直线L与曲线相交于A、B两点.当L的斜率为1时,C(0,b)到AB的距离为,延长CF交椭圆于点B,求ACBD的面积.解:由于e= 并且 、F(c,0)故AB的方程为: 又C(0,b)所以C到AB 的距离为d= 故椭圆的标准方程为: 又, 即AB与CD垂直,代入公式有
4、:=2椭圆内接焦点四边形(过两个焦点)2.1定义:在椭圆中,AB,CD为过椭圆右左两焦点的弦,并且交椭圆于四点A、B、C、D.则有四边形ACBD为过椭圆两个焦点的内接焦点四边形.2.2性质(1)面积:四边形面积 ,证明: 如右图所示,有(-c,0),并且设AB,CD的斜率分别为,故有AB: CD: . 联立方程:及 同理有: (为AB与CD的夹角),.(2)推论A: 当时,.B: 当时,并且有,.2.3实例应用设椭圆的左右焦点分别为(-1,0),.右准线交x轴于点A,.过,分别作两条直线与椭圆相交于四个点D、E、M、N.并且DE与x轴的夹角为.MN与直线L交于点G,并且有.求:(1)椭圆的标准
5、方程.(2)四边形DMEN的面积.解:(1)由于(-1,0),.又有A,故有: 同理, 所以椭圆的标准方程为:(2)由于已知了DE与x轴的夹角为,故有,又, 所以有设AN与DE的夹角为, 代入公式有:3椭圆内接以焦点为顶点的四边形3.1定义在椭圆 中,为其左右焦点,A、B为椭圆上任意的两点.则四边形称为双曲线以焦点为顶点的内接四边形.3.2性质(1)面积: 四边形的面积为证明:由椭圆的定义可知道:(1)由余弦定理有: (2)由(1)与(2)同理有: (为与的夹角; 为BF1与BF2的夹角).(2)推论:当与互为补角时,有:.证明:当与互为补角时,所以有: 将其代入面积公式中就有;,(当时取到“
6、=”).3.3实例应用已知,为椭圆的两个焦点,A、B为椭圆上任意的两个焦点,并且与为补角,求:(1)当时,求的值.(2)当取得最小值时,与的度数分别为多少?此时面积的最小值为多少?解:(1)由已知a=8,b=5,又,并且与为补角,故有:所以有:(2)由推论可以知道: 参考资料:1董正洪圆锥曲线内接四边形面积的最值M数理化学习(高三),2009,(3).2陈宇对椭圆焦点弦四边形面积最值探究J中学数学研究,2009,(4).3邱继勇圆锥曲线内接四边形的一个性质J中学数学研究,2005,(6).4王伯龙圆锥曲线中一类内接四边形性质的探究J中学数学月刊,2010,(11).5 舒金根圆锥曲线内接四边形的一个有趣新性质的简证及类似J中学数学研究,2011,(5).6马跃进、康宇圆锥曲线内接四边形的一个统一性质J中学数学研究,2011,(4).