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1、等比数列的概念与通项公式教学目标1理解等比数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列；2了解等比数列的推导方法；3掌握等比数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题 教学重点等比数列的概念（q为常数）；通项公式：教学难点等比数列的递推公式与通项公式的转化教学过程复习回顾前面我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下主要内容等差数列定义：（n2）等差数列性质：（1）a，A，b成等差数列，由；（2）若m+n=p+q，则am+an=ap+aq等差数列求和公式：问题情境数列：1，3，5，7，2n1， 2，1，4，3n5， 1，1，1，1，这些数列均为等差数列，满足anan1d ( n2 )我们
2、来观察下列几个数列，看其又有何共同特点？1，2，4，8，16，263； 5，25，125，625，； 1，； 是等差数列吗？如果不是，你能试着总结这些数列的特点吗？特点：对于数列，（n2）；对于数列，（n2）；对于数列，（n2）共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点数学理论1等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：（n2）前面我们观察的数列，都是等比数列，它们的公比依次是2，5，
3、.那么数列1，1，1，1，呢？*说明：（1）“从第2项起”，各项均满足；（2）次序，后项比前项：q，n2，或q；（3）q为常数，体现“等”比；（4）由递推公式，an0，且q0；an1an q；（5）非零常数列既是等差数列，也是等比数列例1 判断下列各数列是否为等比数列？如果是，请写出公比：(1) 1，5，25，125； (2) 0，1，2，4，8；(3) 1，； (4) a，a，a，a，a解：(1) 该数列是等比数列，q5(2) 该数列不是等比数列(3) 该数列是等比数列，q(4) 当a0时，该数列不是等比数列；当a0时，该数列是等比数列，公比q1例2 求下列等比数列中的未知项：(1)2，a，
4、8； (2) 4，b，c，解：(1)由题意，得 ， a216，故a4(2)由题意，得 ， b24c，b2c2，解得b2，c1推广：如果A，B，C三个数成等比数列，那么B2AC，我们把B叫做A，C的等比中项注意 （1）与等差中项不同的是同号两数才有等比中项；等比中项有两个当，时，也叫做，的几何平均数（2）对于公比为的无穷等比数列，如果2是其中除第1项以外的任意一项，那么它的前一项是，后一项是，由可知，是它的前一项与后一项的等比中项事实上等比数列中的任意一项都是它的前后等距离的项的等比中项练习：(1) 2与4的等比中项是_；(3)2与(3)6的等比中项是_2等比数列的通项公式例 已知等比数列an的
5、首项a13，q2，求a10若根据递推公式则需求出前9项，则需探求通项公式此数列的前几项依次为：3，6，12，24，48，利用观察法可得an32n1，但需证明是否各项均满足证法一：对等比数列an，若首项为a1，公比为q，则q，q，q，q，q将这n1个式子左右两边分别相乘，得qn1，故ana1 qn1当n1时，上述等式也成立证法二：或者由定义得：；n=1时，等式也成立，即对一切成立等比数列的通项公式沟通了a1，an，n与q之间的联系如：数列， （n64），表示这个等比数列的各点都在函数的图象上.如图所示数学应用例3 已知在等比数列an中，首项a13，q2，求通项公式an及a6；解 an3(2)n1
6、，a63(2)6196例4 已知在等比数列an中，a320，a6160，求通项公式an 解 由题意，a3a1q220，a6a1q5160，解得q2，a15，故an52n1或解 a6a3q3，即16020q3，解得q=2故ana32n3202n352n1推广的等比数列通项公式anamqnm从函数的角度看等比数列的通项公式，根据首项和公比的不同取值，考察等比数列中各项的变化特点尤其对于q0时的等比数列，为摆动数列，相邻两项符号相反，但间隔的两项一定同号例5 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项解 设这个等比数列的第1项是，公比是q，那么， ， 由可得第，把代入可得 这
7、个数列的第1项与第2项分别是和8例6 已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列证明：设数列的首项是，公比为q1；的首项为b1，公比为q2，那么数列的第n项与第n+1项分别为：，即为，它是一个与n无关的常数，所以是一个以q1q2为公比的等比数列例7 在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列这3个数依次为多少？解 设a1243，a53，插入的三个数依次为a2，a3，a4由题意，q4，解得q故此三数依次为81，27，9，或81，27，9借助教材50例3 推广的等比中项的概念：或解 设a1243，a53，插入的三个数依次为a2，a3，a4a32a1a5729，又a30，所以a381a22a1a3，故a281，且当a281时，a49；当a281时，a49故此三数依次为81，27，9，或81，27，9例8 一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段如此继续下去，试求第n个图形的边长和周长(1)(2)(3)解 设第n个图形的边长为an由题意，an()n1第n个图形的边数为34n1，则第n个图形的周长为()n134n13()n1
