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1、函数的三要素： 对应法则、定义域、值域只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？ 1 解：不是同一函数，定义域不同 2。 解：不是同一函数，定义域不同 3。 解：不是同一函数，值域不同 4 解：是同一函数 5 解：不是同一函数，定义域、值域都不同关于复合函数设 f(x)=2x-3 g(x)=x2+2 则称 fg(x)（或gf(x)）为复合函数。 fg(x)=2(x2+2)-3=2x2+1 gf(x)=(2x-3)2+2=4x2-12x+11 例：已知：f(x)=x2-x+3 求：f() f(x+1) 解：f()=()2-+3 f(x
2、+1)=(x+1)2-(x+1)+3=x2+x+31. 函数定义域的求法l 分式中的分母不为零；l 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；l 指数式的底数大于零且不等于一；l 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。l 正切函数 l 余切函数 l 反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理)函数yarcsinx的定义域是 1, 1 ，值域是，函数yarccosx的定义域是 1, 1 ，值域是 0, ，函数yarctgx的定义域是 R ，值域是，函数yarcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, ) .注意，1. 复合函数的定义域。如：已知函数的定义域为（1，3），则函数的定义域。2.
3、函数的定义域为,函数的定义域为,则函数的定义域为，解不等式，最后结果才是3.这里最容易犯错的地方在这里： 已知函数的定义域为(1,3),求函数的定义域；或者说，已知函数的定义域为(3,4),则函数的定义域为_?一、复合函数的构成设是到的函数，是到上的函数，且，当取遍中的元素时，取遍，那么就是到上的函数。此函数称为由外函数和内函数复合而成的复合函数。 说明：复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。与表示不同的复合函数。例2：若函数的定义域是0，1，求的定义域；若的定义域是-1，1，求函数的定义域；已知定义域是，求定义域要点1：解决复合函数问题
4、，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的 解答：函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数函数的定义域是0，1， B=0,1，即函数的值域为0，1，即， 函数的定义域0，函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数的定义域是-1，1， A=-1,1，即-1，,即的值域是-3，1， 的定义域是-3，1要点2：若已知的定义域为，则的定义域就是不等式的的集合；若已知的定义域为，则的定义域就是函数 的值域。函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数的定义域是-4，5), A=-4,5)即，即的值域B=-1，8）又是由到上的函数与B到C上的函数复合而成的
5、函数，而,从而的值域 的定义域是1，）例4：已知函数,求的值域。分析：令，； 则有，复合函数是由与复合而成，而，的值域即的值域，但的本身定义域为,其值域则不等于复合函数的值域了。2求有关复合函数的解析式，例6已知 求；已知 ，求例7已知 ，求； 已知，求要点3：已知求复合函数的解析式，直接把中的换成即可。已知求的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把换成而得。换元法就是先设，从中解出（即用表示），再把（关于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接换成即得，这种代换遵循了同一函数的原则。例8已知是一次函数，满足，求；已知，求要点4： 当已知函数
6、的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。 若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法 求函数的解析式。已知满足某个等式，这个等式除是未知量外，还出现其他未知量，如、等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出。三、总结：复合函数的构成；设函数，则我们称是由外函数和内函数复合而成的复合函数。其中被称为直接变量，被称为中间变量。复合函数中直接变量的取值范围叫做复合函数的定义域，中间变量的取值范围，即是的值域，是外函数的定义域。有关复合函数的定义域求法及解析式求法：定义域求法：求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式（由解）；求外函数的定义域只要求中间变量的值域范围
7、（由求的值域）。已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域，必须先求出外函数的定义域。特别强调，此时求出的外函数的定义域一定是前一个复合函数的内函数的值域，例2（3）反映明显。解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法2. 函数值域的求法（1）、直接观察法对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。例 求函数的值域例2. 求函数的值域。解： 故函数的值域是：（2）、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例3. 求函数的值域。解：将函数配方得： 由二次函数的性质可知：当x=1时，当时， 故函数的值域是：4，8（3）、根
8、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:例4. 求函数的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程 （1）当时， 解得：（2）当y=1时，而 故函数的值域为4、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数值域。,分母不等于0,即5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例. 求函数的值域。解：由原函数式可得：，可化为：即 即解得： 故函数的值域为6.倒数法有
9、时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例 求函数的值域7. 函数单调性法 例. 求函数的值域。解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然，故原函数的值域为 7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型， 例11. 求函数的值域。解：令， 则 又，由二次函数的性质可知 当时， 当时，故函数的值域为 例14. 求函数，的值域。解：令，则 由 且可得： 当时，当时，故所求函数的值域为。 8. 数形结合法 例17. 求函数的值域。解：原函数可变形为：
10、上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，故所求函数的值域为 10. 一一映射法原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 例21. 求函数的值域。解：定义域为 由得故或 解得故函数的值域为 多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 例. 求函数的值域。解：令，则（1）当时，当且仅当t=1，即时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法
