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1、习题3-11. 已知随机变量X1和X2的概率分布分别为X1-101PX201P而且. 求X1和X2的联合分布律. 解 由知. 因此X1和X2的联合分布必形如 X2X101pi-1P1100P21P221P310pj1于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X1和X2的联合分布律 X2X101pi-100010pj1(2) 注意到, 而, 所以X1和X2不独立.2. 设随机变量(X,Y)的概率密度为求: (1) 常数; (2) ; (3) ; (4) .解 (1) 由, 得,所以 .(2) .(3) .(4) 作直线, 并记此直线下方区域与的矩形区域的交集为. 即.见图3-8. 因此 .图3-
2、8 第4题积分区域3. 二维随机变量的概率密度为试确定, 并求.解 由,解得.因而 .4. 设二维随机变量(X, Y)概率密度为求关于X和Y边缘概率密度. 解 的概率密度在区域,外取零值.因而, 有5. 假设随机变量在区间-2, 2上服从均匀分布, 随机变量 试求：(1) X和Y的联合概率分布；(2).解 (1) 见本章第三节三(4).(2).习题3-21. 设(X, Y)的分布律为YX123410.100.1020.300.10.2300.200求: (1) 在条件X=2下Y的条件分布律;(2) .解 (1) 由于,所以在条件X=2下Y的条件分布律为,或写成1234(2) 注意到.而.因此.
3、2. 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为求：(1) (X, Y)的边缘概率密度；(2)解 (1) 当时,;当x0时或x1时, . 故 当0y2时,; 当时或时, . 故 (2) 当z0时,; 当z2时,;当0z0), 试求随机变量和Z=X+Y的概率密度.解 已知X和Y的概率密度分别为, ; .由于X和Y相互独立, 所以=.4. 设随机变量X和Y的联合分布是正方形G=(x,y)|1x3, 1y3上的均匀分布, 试求随机变量U=|X-Y|的概率密度f(u).解 由题设知, X和Y的联合概率密度为记为U的分布函数, 参见图3-7, 则有当u0时,u=0; 当u2时,; 当0 u2Y; (2) 求
4、Z = X+Y的概率密度fZ(z).解 (1) .(2) 方法一: 先求Z的分布函数: .当z0时, FZ(z)0;当0z1时, = z2-z3;当1z2时, = 1-(2-z)3;当z2时, FZ(z) = 1.故Z = X+Y的概率密度为方法二: 利用公式当z0或z2时, fZ(z) = 0;当0z1时, 当1z1, PYX及PY|X.解 (1) 当x0或y0时, (x, y) = 0, 所以 F(x, y) = 0.当0x1, 0y2时, (x, y) = x2+xy,所以 .当02时,.当x1, 01, y2时,.综上所述, 分布函数为(2) 当0x1时,故 当0y2时,故 (3) 当0y2时, X关于Y = y的条件概率密度为当0x1时, Y关于X = x的条件概率密度为(4) 参见图3-10. 图3-10 第9题积分区域 图3-11 第9题积分区域 同理, 参见图3-11.
