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1、不该被淡忘的性质 角平分线的对称性（陕西师大附中 王全 710062）对于角平分线，教材中只是指出了“角平分线上的点到两边的距离相等”这一性质，而角平分线的对称性却被淡忘了。然而，与角平分线对称性相关的中考试题却屡见不鲜。因此，我们有必要对角平分线的对称性进行再认识。1、 结识角平分线的对称性：没有尺规等工具，请你将如图1所示的角形纸片的角平分线找出来。我们可以让角形纸片的两边重合在一起如图2进行对折，这样折痕就是该角的角平分线。以上的操作足已说明角的两边关于角平分线所在直线对称。下面我们就来体会这一性质的应用。2、 角平分线对称性的应用：例1、 如图3，在四边形ABCD中，BD平分ABC，A
2、与C互补，求证：ADCD.解析：由于BD平分ABC，我们可以如图4将AB边沿BD对称到BC边上。证明：在BC上取一点A，使ABAB，连接AD，则由BD平分ABC得：ABDABD，又BDBD，ABDABD，BADA，ADAD，A与C互补，BAD与CAD互补，CADC，ADCD，ADCD。例2、如图5，在ABC中，已知AD为BAC的角平分线，C2B，求证：ABACCD.解析：由于AD平分BAC，我们可以将AC边沿AD对称到AB边上。证明：在AB上取一点C，使CACA，连接CD，则由AD为BAC的角平分线得：CADCAD，又ADAD，CADCAD，ACDC，CDCD，C2B，ACD2B，又ACDBB
3、DCBBDC，BCDC，ABACBCACCD。例3、图6，在ABC中，ABAC，AD平分BAC，CDAD于点D，E为BC的中点，求证：。解析：由于AD平分BAC，我们可以将AC边沿AD对称到AB边上。证明：在AB上取一点C，使CACA，连接CD，则由AD为BAC的角平分线得：CADCAD，又ADAD，CADCAD，CDACDA90，CDCD，CDACDA180，C、D、C三点共线，CDCD，BECE，DE为CBC的中位线，例4、如图7，四边形ABCD的对角线AC、BD分别平分BCD、ABC，O为AC与BD的交点，若BCABCD，求BOC的度数。解析：注意到AC、BD分别平分BCD、ABC，而公
4、共点为点O，公共边为BC，因此，为了同时利用两条角平分线，我们可以将AB边沿BD对称到BC边上。证明：在BC上取一点A，使BABA，连接OA，则由AC平分BCD得：ABOCBO，又BABA，BOBO，BAOBAO，AOBAOBBCABCD，BCBACA，BABA，CACD又由BD平分ABC得：OCAOCD，CACD，OCOCBAOBAO，COACOD AOBCOD，AOBBOAAOC180BOACOA60，BOCBOACOA120例5、如图8，在ABC中，AD垂直于ABC的平分线BD，AE垂直于ACB的平分线CE，请判断线段DE与ABC的三边AB、BC、CA有何关系？并给出证明。解析：由于BD
5、平分ABC，我们可以如图9将AB边沿BD对称到BC边上；由于CE平分ACB，我们可以如图9将AC边沿BD对称到BC边上；证明：在BC上取一点A，使ABAB，连接AD，则由BD平分ABC得：ABDABD，又BDBD，ABDABD，ADBADB90，ADAD，ADBADB180，A、D、A三点共线，在BC上取一点A，使ACAC，连接AE，则由CE平分ACB得：ACEACE，又CECE，ACEACE，AECAEC90，AEAE，AECAEC180，A、E、A三点共线，DE为AAA的中位线，请你在读完以上内容后，把你的思维稍微停一下，再整理一下。并尽量的去体会我们是如何利用角平分线的对称性的，在利用其对称性时，需要注意那些细节，以上的哪些问题你还有别的解法吗？然后，你再动手试一试，看看以下两个题目能否完成？3、 动手试一试1）、如图10，在ABC中，ABAC，A90，BD平分ABC，CEBD于点E，求证：BD2CE。2）、如图11，在ABC中，若A60，BD和CE分别平分ABC和ACB，BD与CE交于点O，请判断BE、CD与BC间的关系，并说明理由。在你完成这两个题目后，你有什么收获呢？你能试着去整理一下与中点有关的问题吗？垂直平分线的对称性呢？勾股定理呢？第 3 页 共 3 页
