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1、前言代数学基本定理在代数学中占有十分重要的地位，而在整个数学界中也起着基础作 用。代数学基本定理有两种等价的陈述方式。第一种陈述方式为：“任何一个一元n次复系数多项式p(z) anZn an izn 1 . aiZ aQ ( n 1 , an 。)在复数域内至少有一根”，它 的第二种陈述方式为：“任何一个一元n次复系数多项式p(z) anZn an izn 1 . az ao(n 1, an 0)在复数域内有n个根，重根按重数计算”。尽管这个定理被命名为代数基本定理，但，迄今为止，该定理尚无纯代数方法证明。数学家J.P赛尔曾经指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。美国数学家John W
2、illard Milnor在数学名著从微分观点看拓扑中给了一个证明，是几何直观的，但其中用到了和临界点测度有关的萨尔 德定理。在复变函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中运用了很多经典的 复变函数的理论成果。代数基本定理的第一个证明是由法国数学家达朗贝尔给出的，但其证明是不完整的。紧接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷。严格来说，第一个完整的证明是数学家高 斯给出的，他在分析了拉格朗日的证明方法以后于1799年给出的，他是运用的纯解析的方法证明。而后，到高斯71岁时，共给出了四种证明方法。十九世纪七十年代，数学家18 , 这种方法的数学形象极好，并已实际用于复系数代数方程求根，堪称
3、不动点算法的范例。如果将复数域理解为复平面，将p(z)anznan1zn 1.aza。( n 1,an0)的根理解为它在复平面上的零点，那么就可以借助复变函数的理论去证明代数学基本定理。这 种证明方法比较简洁，方法也有多种。近年来，诸多数学家又给出了其它的证明方法，例 如2003年翁东东6对代数基本定理进行了多种方法的分析，并给予了形象的证明。他并 没有采用常用的刘维尔定理和儒歇原理运用复变函数的方法进行证明，而是采用了初等方 法证明了代数基本定理，说明可不用复变函数理论中的有关概念和定理进行证明该定理。本论文结合有关知识点，主要目的是归纳总结代数基本定理几种代表性的证明方法。第一章运用复变函
4、数理论中的柯西定理、 刘维尔定理、儒歇定理、辐角原理、最大模原理、 最小模原理、留数定理来证明代数学基本定理， 并对这些证明方法进行说明、比较与总结。 第二章主要介绍了翁东东的初等方法的证明。第三章介绍了 Kuhn的两个构造性的证明方 法。第四章简单介绍了高斯的纯解析证明方法。1 .代数基本定理的复变函数理论证明将复数域理解为复平面，将 p(z) anzn an izn 1 . aiz ao (其中n 1 , an 0) 的根理解为它在复平面上的零点，那么就可以借助复变函数的理论去证明代数学基本定 理。这种证明方法比较简洁，方法也有多种。本章主要针对于代数基本定理的两种陈述方 式，运用复变函数
5、理论中的柯西定理、刘维尔定理、儒歇定理、辐角原理、最大模原理、 最小模原理、留数定理来证明代数学基本定理， 并对这些证明方法进行说明、比较与总结。1.1 代数学基本定理的第一种陈述方式的证明代数学基本定理的第一种陈述方式为：任何一个一元n次复系数多项式 p(z) anzn an 1zn 1 . az ao (其中n 1 , an 。)在复数域C内至少有一根。柯西于1825年给出了复变函数的积分和积分路径无关的条件，它是研究解析函数理论的基础，是复变函数的基本定理定理 设函数f(z)在整个z平面上的单连通区域D内解析，C为D内任何一条简单闭合 曲线，那么？ f(z)dz 0。证明：设C所围成的区
6、域是Do,取一个四边平行于坐标轴的矩形，把 C包含在内。用 线段连接矩形对边的中点，最多可把 Do分成四块。不妨设分成D E F G四块。由 于f(z)沿的积分等于沿这四块区域边界积分的和，所以必有一块边界上的积分，满足 用的同样的方法把D1分成四块，其中必有一块 D2使得 把这种做法一直进行下去可以得到曲线C内的一串矩形区域或矩形被曲线 C截得的区域Dn,使得存在唯点zo属于每个Dn或Dn,而且n时，Dnz。因为f(z)在。有导数f()，所以对任何o ,当z与zo充分接近时，因为 d f(z)dz o, d (z zo) f (z)dz o,所以当n充分大时，设最大矩形的周长是Lo当n充分大
7、时，对于z Dn,有zzo Dn的周长，所以2kLLLLzzo dsz-1dsro2n工2n2n4n，由以上两式得因为 为任意正数，所以2 f (z)dz 0。基本定理的证明：设 p(z) anzn an izn 1 . aiz a0,其中 n 1 , an0。假设p(z)在复平面上无零点，即对任意z C ,有p(z) 0 ,于是吧在z平面解析，由柯西定理 p(z)晅dz 0 (其中C是圆周z R) p(z)(1-1)n 1n 2另一方面 p (z) = nanz(n 1间1z . a p(z) anzn an 1zn 1. az a。其中函数p( z)满足当z时，一致趋于零。1又因为？-dz
8、 2 i ,所以maxq(z)1 dzC z2 max q(z)z R(1-2)故Rm。蜒dzcqzdz n,比较(1-1)与(1-2)得n 0,这与定理的条件矛盾,所以p(z)在平面上至少有一个零点，即一元 n次方程在复数域 内至少有一个根证毕。刘维尔定理是复变函数论中的一个著名定理，在复变函数中有着广泛的应用。下面介 绍其内容及运用该定理证明代数基本定理的方法。定理有界整函数必为常数。证明：f(z)是有界整函数，即存在M (0,),使得对任意的z f(z) M , 因此任意的 及任意的 (0,) , f (z)在z| z z上解析，从而有f (z0)| M/ ,令,可见对任意的z , f
9、(A) 0,从而f(z)在复数域上恒等于常数。基本定理的证明：假设p(z) anZn an izn 1 . aiz a0在z平面上无零点。则 p(z)为整函数且当z时，p(z) zn(an -. an)。z z人1令f(z) ,则f(z)也是整函数。又因为lim f(z) 0 ,所以f(z)在整个复平面上p(z)z有界。由刘维尔定理知f(z)为常数，与p(z)不是常数矛盾。因此一元n次方程在复数域 内至少有一个根。证毕。刘维尔定理的应用非常广泛。用刘维尔定理做证明题时常见的方法有两种：一种是利 用反证法来证明，另一种是构造辅助函数来证明。而在刘维尔定理证明代数学基本定理的 过程中巧妙地把这两种
10、方法结合了起来。它的证明思路很清晰：利用反证法，并构造辅助1函数f(z) ,，由f(z)为整函数且在复数域上有界，得到f(z)为常数，这与假设相 p(z)比得出矛盾，从而得出结论一元n次方程在复数域内至少有一个根。它的证明过程也很 简洁，很容易让初学者理解和掌握。最大模原理在复变函数理论中也是很重要的定理，它深刻反映着解析函数的性质。下 面介绍运用该定理证明代数基本定理的方法。定理 设函数f (z)在区域D内解析，且包不为常数，则| f (z)在区域D内任意点都取不 到最大值。证明：假定f (z)在D内不包等于一常数，那么D f(D)是一区域。设f(z)在z0 D达 到最大值。显然，wo f(
11、zo) Di且wo必有一充分小的邻域包含在 Di内，于是在这邻域内 可找到一点w满足ww0 ,从而在D内有一点z满足w f(z)以及f(z)f(z0),这与题设矛盾。因此f(z)在D内恒等于一常数。基本定理的证明：假设p(z) zn aizn 1 . an在复平面上没有零点，即p(z) 0 ,则g(z)在z平面上解析。显然当z R且R充分大时有p(z)因此，在zR上且R充分大时，有9(Z)1p(z)2Rn,从而由最大模原理，有特别地，在z 0处，有an p(0)1r2 O9(0)2而这对于充分大的R显然不成立。这就说明了 “ p(z)在z平面上没有零点”的假设是不成立的，从而可以得到p(z)在
12、z平面至少有一个零点，即一元n次方程在复数域内至 少有一个根。最大模定理和最小模定理都是描述解析函数的重要特性的定理，但用最小模定理可更 为简单地证明代数基本定理。定理 若解析函数f(z)在区域D内不包为常数，且在D内的点z。有f (z。)0,则f(z。) 不可能是|f(z)在D内的最小值。证明：假设f(z0)是f(z)在D内的最小值，即f(z0) mo已知f(z)在D内解析且不 为常数，由保域定理知：G f(D)为W平面上的区域。因f(z0) W0 G,则存在(W0, ) G, 又f(z0)W00 ,因此存在Wi(W0,)满足WiW0,故存在z1D ,使得f (z1)W),f (乙)f (z
13、0) m ,这显然与m为f (z)在D内的最小值矛盾，所以f(zJ不可能是f (z) 在D内的最小值。基本定理的证明：设 p(z) zn azn 1 . an,假设对 z ，有 p(z) 0 ,并且 p(0) an 0。又因为 p(z)在复平面上解析，且不为常数，所以由最小模原理知：对于 R 0,min|p(z)|只能在|z R上取得(1-3)另一方面，|jm p(z) ,从而当R充分大时，在z R上有p(z)anp(0),则这与(1-3)式矛盾，所以假设不成立。即p(z)在复平面上至少存在一个零点，亦即一元n次方程在复数域内至少有一个根。证毕。最小模原理与最大模原理在证明代数学基本定理的时候
14、的证明方法是极其相似的：首先都是假设一元n次方程在复数域内无零点，然后通过|f(z)在区域D内某一点能取到最大值或最小值，但是p(z)却不是常数，与定理的内容产生矛盾，从而得出一元 n次方程在复数域内至少有一个根。这两个定理证明的关键之处是找到 | f(z)在区域D内能达到最 大值或最小值的某一点，如果找到了这一点，那么我们所要解决的问题就会迎刃而解了。以上四种证明方法均采用反证法， 假设一元n次方程在复数域内无零点，通过证明， 得到的结论都是：一元n次方程在复数域内至少有一个根。1.2代数学基本定理的第二种陈述方式的证明代数基本定理第二种陈述方式为：任何一个一元n次多项式 p(z) anzn
15、 an izn 1 . aiz ao (其中n 1 , an 。)在复数域内有n个根，重根按重 数计算。在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具， 也可以用来计算实函数的积分。定理 设D是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭合曲线Co设函数f (z)在D内除去有孤立奇点 乙，,zn外，在每一点都解析，并且它在C上每一n点也解析，则有2 f(z)dz 2 i Res(f,zk),这里沿闭曲线C的积分是按照关于区域D的 k 1正向取的。证明：以D内每一个孤立奇点zk为心，作圆玲，使以它为边界的闭圆盘上每一点都在 D 内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点。从D中除去以这些h为边界的闭圆盘得一区域G,其边界是C以及鼠。在G及其边界所组成的闭区域 G上，f(z)解析。因此由柯西定理,2c f(z)dzf(z)dz,这里沿
