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1、解析几何的解题思路、方法与策略高三数学复习的目的， 一方面是回顾已学过的数学知识， 进一步巩固基础知识， 另一方面， 随着学生学习能力的不断提高， 学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复， 而是有对所学知识进一步理解的需求， 如数学知识蕴涵的思想方法、 数学知识之间本质联系等等， 所以高三数学复习既要“温故” ， 更要“知新” ， 既能引起学生的兴趣， 启发学生的思维， 又能促使学生不断提出问题， 有新的发现和创造， 进而培养学生问题研究的能力以“圆锥曲线与方程”内容为主的解题思想思路、方法与策略是高中平面解析几何的核心内容， 也是高考考查的重点每年的高考卷中，一般有两道选择或填空题以及一道解
2、答题， 主要考查圆锥曲线的标准方程及其几何性质等基础知识、基本技能及基本方法的灵活运用， 而解答题注重对数学思想方法和数学能力的考查，重视对圆锥曲线定义的应用， 求轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系的考查解析几何在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点通过以圆锥曲线为主要载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强基于解析几何在高考中重要地位，这一板块知识一直以来都是学生在高三复习中一块“难啃的骨头” 所以研究解析几何的解题思路，方法与策略，重视一题多
3、解，一题多变，多题一解这样三位一体的拓展型变式教学，是老师和同学们在高三复习一起攻坚的主题之一本文尝试以笔者在实际高三复习教学中，在教辅教参和各类考试中遇到的几道题目来谈谈解析几何解题思路和方法策略一、一道直线方程与面积最值问题的求解和变式例1 已知直线过点 ，若直线交轴负半轴于A，交轴正半轴于B，O为坐标原点.（1）设的面积为，求的最小值并求此时直线的方程；（2）求最小值；（3）求最小值解：方法一：直线交轴负半轴，轴正半轴，设直线的方程为，（1）,当时，即 ，即 时取等号，此时直线的方程为.整理为word格式（2），当且仅当时取等号；（3），当且仅当时取等号；方法二：设直线截距式为，过点，（
4、1），；（2）；（3）（3）方法三： ，当且仅当时最小，变式1：原题条件不变，（1）求AOB的重心轨迹；（2）求AOB的周长最小值解：（1）设重心坐标为，且，则，又，该重心的轨迹为双曲线一部分；（2）令直线AB倾斜角为，则，又，过分别作轴和轴的垂线，垂足为,则， ，整理为word格式，令，则t0， 周长。变式2：求的最小值（留给读者参照变式1，自行解决）点评：由于三角函数具有有界性，均值不等式有放大和缩小的功能，在解析几何中遇上求最值的问题，可构建三角函数和均值不等式，合理地放大缩小，利用有界性，求得最值圆锥曲线的最值问题， 解法一般分为两种: 一是几何法， 特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的
5、有关结论来处理非常巧妙; 二是代数法， 将圆锥曲线中的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题， 然后利用基本不等式、 函数的单调性或三角函数的有界性等求最值；二、涉及到抛物线的相关题目和证明例2 证明抛物线的焦点弦定值.设直线AB：，与抛物线交于两点，则有如下一些结论：，； 证明：方法一：设.由，得，. ，则. 作，假设，设,，整理为word格式.方法二：； ； .例3 已知，为抛物线上两点，且满足，为坐标原点，求证：（1），两点横坐标之积，纵坐标之积分别为定值；（2）直线经过一定点解：（1）设，易得，又，则， ， ；（2） 方法一：由对称性，可知直线过定点一定在轴上，取特值，得定点为；设
6、直线的方程为，化简整理把代入抛物线的方程，可得，那么， ，则满足题意,表明直线过定点.方法二：易得直线的斜率，直线的方程为，整理得，整理为word格式即，又 ， 直线的方程为，即得直线过定点.方法三：设，设直线方程为，将其代入抛物线的方程，得方程，只需，解得， 直线的方程为，即得直线过定点.方法四：设直线的方程为，由，得交点为和，又 的方程为，同理可得，当时， 直线方程为，即，即得直线过定点；当，得，的方程为，综上，由直线过定点.点评：方法一是用特殊位置找结论，再证明，方法二、三、四是处理垂直关系的通法类似地，过椭圆，双曲线的一个顶点作，分别交椭圆，双曲线于，则直线也 经过一定点变式 如图，椭
7、圆和圆，已知圆将椭圆的长轴三等分，且圆的面积为椭圆的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点A、B，直线EA、EB与椭圆的另一个交点分别是P、M（1）求椭圆的方程；（2）（i）设PM的斜率为，直线斜率为，求的值；（ii）求面积最大时直线的方程解：（1）依题意：，则，椭圆方程为；（2）（i）由题意知直线PE,ME的斜率存在且不为0，PEME整理为word格式不妨设直线PE的斜率为k（k0），则PE：，由得：或 用去代，得，则 由得：或， ，则（ii）由（i）可知：，设，则，当且仅当时去等号，则直线AB：，所以直线的方程为例4 直线过抛物线的焦点，且，又点均在抛物线上，求（1
8、）求四边形面积的最小值；（2）求的最小值；（3）若，分别是的中点，求证：直线过定点解：（1）设直线，不妨设.由，得,整理为word格式.弦长.又直线.同理.，当且仅当时取等号.（2），当且仅当时取等号（3）设，由（1）问所得方程，可得，设中点，则，可得，用替换，易得，则，那么直线的方程为，化简得（*）当时，直线恒过点；当时，即轴，易得直线的方程为，恒过点.综上，直线恒过点点评：实际上，第（3）问从 直线MN的方程化为（*）式较难，从得分的角度来讲，可以先从时得到定点，再回到（*），虽不严密，但可节省时间变式 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为（1
9、）求四边形的面积的最小值；（2）求的最小值；（3）若于，且、的中点分别为，求证：直线过定点解：（1）方法一：（）当的斜率存在且时，的方程为整理为word格式，代入椭圆方程，并化简得设，则，；因为与相交于点，且的斜率为，所以，四边形的面积当时，上式取等号（）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积综上，四边形的面积的最小值为注：当的斜率存在时，也可这样求四边形ABCD的面积的最小值：方法二：设，则，当，即时，上式取等号方法三：判别式法，读者自己完成（2）当BD斜率存在时，同上，当，即时，上式取等号的最小值为，整理为word格式当BD斜率存在或等于零时，综上，的最小值为；（3）设线段BD的中点为，则，
10、则，从而，直线的方程为，即（*），显然过定点，当时，或，适合（*）式，综上，直线过定点点评：本题（1）问表明，求解解析几何的最值问题，常用到均值不等式法，二次函数法和判别式法；从以上几例的解析可以看出：应用焦点弦的性质不仅能使许多问题的解答快捷、方便，而且能够优化学生的思维品质，提高解决问题的能力凡涉及弦长的问题， 常用根与系数的关系设而不求计算弦长(即应用弦长公式); 涉及弦长的中点问题时， 常用“点差法” 设而不求， 将弦所在直线的斜率、 弦的中点坐标联系起来， 相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件， 寻找量与量之间的关系，并进行灵活转化，往往能避免求交点坐标等复杂运算三、一道椭圆考题
11、的证明和拓展例5 已知椭圆，有以下两个结论：若，为椭圆上两个点，则；整理为word格式若椭圆两焦点为，则点的轨迹方程为或则以下说法正确的是（ ）（A）和都不对 （B）和都对 （C）不对，对 （D）对，不对本题选D，现笔者试对第问给出不同的证法：解：方法一：当ABx轴时，ADX=BOX=45，当AB不垂直于x轴时：设，设与椭圆联立得：,又AOB中，,又由得，方法二（三角法）：如图，令，则，则，代入椭圆方程，有，则，两式相加，有；方法三（特值法）：当直线斜率为0或不存在时，当直线、斜率都存在且不为0时，设直线方程为整理为word格式，又OAOB直线OB方程为，；本问的一般性结论：已知椭圆，若，为椭
12、圆上两个点，且满足，则变式1：是否存在一定圆与直线AB相切？解：方法一：设直线的方程为，代入到椭圆方程，则，设点O（0,0）到直线AB的距离为，则，过O作AB的垂线，垂足为H，设，则，整理为word格式存在定圆与直线AB相切方法二：由例7的问结论可得，过O作AB的垂线，垂足为H，那么，设，存在定圆与直线AB相切拓展推广：（1）若A、B、C、D为椭圆4个点，直线ACBD于坐标原点O，则证明：由例6中问结论可得结论正确；（2）若A、B、C为椭圆上3个点，则 证明：令，则，代入椭圆得，则，同理 ，.整理为word格式.变式2：已知双曲线，且，（1）求的值；（2）若，求点的轨迹方程解：（1）当轴时，,
13、，；当不垂直于x轴时，设，设联立双曲线方程得：，由，得，则，有，作于，设，在中，又，由可得，综上，的值为（2），的轨迹方程为，即整理为word格式点评：本题从到实际复习中遇到的一个考题，尝试了用普通的解析法，和三角代换（应注意并非椭圆的三角参数方程），不同角度地证明了这个结论，并加以拓展和延伸，使之达到让学生们可以一题多解，一题多变，多题一解的目的，让复习过程得以升华变式3：设椭圆的离心率，左顶点到直线的距离，为坐标原点()求椭圆的方程；（）设直线与椭圆相交于两点，若以为直径的圆经过坐标原点，证明：点到直线的距离为定值；()在（）的条件下，试求的面积的最小值()解由e，得ca，又b2a2c2，所以ba，即a2b.由左顶点M(a,0)到直线1，即bxayab0的距离d，得，即，把a2b代入上式，得，解得b1.所以a2b2，c.所以椭圆C的方程为y21. 3分（）证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x1x2，y1y2.因为以AB为直径的圆经过坐标原点，故0，即x1x2y1y20，也就是xy0，又点A在椭圆
