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1、勾股定理的历史勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”,是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢?我可以告诉大家,有:毕达哥拉斯定理,商高定理,百牛定理,驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理,就是指“在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这个定理有十分悠久的历史,几乎所有文明古国(希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等)对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理,相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras ,公元前572?公元前497?)于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得( E
2、uclid ,公元前330公元前275) 在巨著几何原本(第I卷,命题47)中给出一个很好的证明。(右图为欧几里得和他的证明图)中国古代对这一数学定理的发现和应用,远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作周髀算经的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:周公问:“我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?”商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理:当直角三角形矩 得到的一条直角边勾等于3,另一条直角边股等于4 的时候,那么它的斜边弦就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总 结
3、出来的呵。” 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话,那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期, 比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特 例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。在稍后一点的九章算术一书中(约在公元50至100年间)(右图),勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的勾股章说;“把勾和股分另自乘,然后把它们的积加起来,再进行开方,便可以得到弦”。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理,而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的,是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股
4、圆方图”用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明(右图)。赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识。他用几何图形的截、害U、拼、补来证明代数式之间的恒等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展, 只是具体图形的分合移补略有不同而已。 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法,中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法,更具有科学创新的重大意义。勾股定理的证明据不完全统计,勾股定理的证明
5、方法已经多达400多种了。下面我便向大家介绍几种十分著名的证明方法。【证法1(赵爽证明)以a、b为直角边(ba),以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于1ab.把这四个直角三角形拼成2如图所示形状. Rt A DAH 9 Rt A ABE,/ HDA = / EAB / HAD + / HAD = 90o, / EAB + / HAD = 90o, ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于 c2.EF = FG =GH =HE = b a,/HEF = 90o.EFGH是一个边长为b-a的正方形,它的面积等于 (b _ a f .1 .22一4 一 ab,匕 a =
6、c2a2 b2 )c2.【证法2】(课本的证明)做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分另ij为a、b、c的正方形,把它们像上图 那样拼成两个正方形.从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b ,所以面积相等.即a2+b2 +4 父1 ab = c2 +4 黑二 ab,整理22得 a2 b2 =c2.【证法3】(1876年美国总统 Garfield 证明)则每个直角三角形的面积等于以a、b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上Rt A EAD 省 Rt A CBE,/ ADE
7、 = / BEC / AED + / ADE = 90 o, / AED + / BEC = 90 o./ DEC = 180o90o= 90 o. A DE比一个等腰直角三角形,它的面积等于1c2.2又 /DAE = 90o, /EBC = 90 o,AD/ BCABCD是一个直角梯形,它的面积等2(a+bf 于1211 9a b =2 ab c .222一 a2 b2 = c2.【趣闻】:在1876年一个周末的傍晚,在美国华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏 黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着,突然发现附近的一个 小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什
8、么,时而大声争论,时而小声探讨。由于好奇心 驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么?只见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢? ”伽菲尔德答到:“是 5呀。”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理 吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步, 立即
9、回家,潜心探讨小男孩给他留 下的难题。他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日,伽菲 尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一 证法。1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统后来,人 们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明, 就把这一证法称为“总统。”证法。【证法4(欧几里得证明)做三个边长分别为 a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使 H C B三点在一条直线上,连结 BF、CD过C作OLA DE,交AB于点M 交DE于点L. AF = AC, AB = AD, / FAB = / GADA FAB 色 A GA
10、DA FAB的面积等于!a2, A GAD勺面积等于矩形 ADLM勺面积的一半, 2矩形ADLM勺面积=1 .同理可证,矩形 MLEB勺面积=b2 .正方形ADEB的面积=矩形ADLM勺面积+矩形MLEB勺面积c2 =a2 +b2 ,即 a2 +b2 =c2.【证法5】(利用相似三角形性质证明)a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD如图,在Rt A ABC中,设直角边 AG BC的长度分别为LAB,垂足是D在A AD的A ACB中, Z ADC = Z ACB = 90o, Z CAD = / BAGA ADC s A ACB .AD: AC = AC : AB,即 AC2 =AD .AB .
11、同理可证, A CDB s A ACB从而有 BC2 =BD *AB.AC2 +BC2 =(AD +DB )AB =AB2,即 a2 +b2 = c2 【证法6】(邹元治证明)以a、b为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角豚则每个直角三角形的面积等于 眄把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直D b G a CA a E b B线上,C、G D三点在一条直线上. Rt A HAE 9 Rt A EBF,/AHE = /BEF /AEH + /AHE = 90 o, /AEH + Z BEF = 90 o./ HEF = 180o90o= 90
12、o.四边形EFGH一个边长为c的正方形.它的面积等于c2. Rt A GDH 9 Rt A HAE,/HGD = /EHA Z HGD + Z GHD = 90o,Z EHA + Z GHD = 90o.又 Z GHE = 90o,Z DHA = 90o+ 90 o= 180o. ABCD是一个边长为a + b的正方形,它的面积等于 (a+bf.1c=4ab c2.2,2. 22一a b = c .【证法7】(利用切割线定理证明)斜边AB = c .在Rt A ABC中,设直角边 BC = a , AC = b ,如图,以B为圆心a为半径作圆,交AB及AB的延长线分别于 D、E,贝U BD =
13、 BE = BC = a .因为/ BCA = 90o,点C在0B上,所以AC是O B的切线.由切割线定理,得AC2 = AE *AD =(AB +BE【AB 一 BD 尸(c + a(c a 尸 c2 a2,2,22a b = c .【证法8】(作直角三角形的内切圆证明)在Rt A ABC中,设直角边 BC = a , AC = b ,斜边AB = c .作Rt A ABC的内切圆。O,切点分别为D、E、F (如图),设。O的半径为r. AE = AF , BF = BD, CD = CE,AC BC - AB =:AE CE BD=CE CD = r + r = 2r,(a +b ) =
14、(2r +c ),即 a2 b2 2ab = 4 r2 rc 尸c2SBC =2ab,2 ab = 4S&bc,又, S , ABC = S . AOB S. BOC S . AOC1 cr211_ 1ar br = a b c r222_ 1_0- 22r c cr- r rc4(r + rc )=4S为bc,4(r2 + rc )= 2ab, a2 b2+ 2ab =2ab +c2,2=c .勾股定理的应用、填空题B 200m c1 .在 RtABC中,/ C=90 ,若 a=5, b=12,贝U c=若a=8, c=10,则 b=若c=61, b=60,则 a=520mC偏离欲到若a : b=3 : 4,c=10 贝 U Saabc=2 .如图,某人欲横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点达点B200m,结果他在水中实际游了520m,求该河流的宽度为3 .如图,/ OAB= / OBC= / OCD=90 , AB=BC=CD=1 , OA=2 ,贝U OD2=.4 .已知直角三角形两直角边的长分别为3cm,4cm,第三边上的高为5 .等腰 ABC中,AB=AC=17cm BC=16cm 贝U BC边上的高 AD=,6 .在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,问这里水