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1、勾股定理的历史勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras ,公元前572?公元前497?）于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得（ E
2、uclid ,公元前330公元前275） 在巨著几何原本（第I卷，命题47）中给出一个很好的证明。（右图为欧几里得和他的证明图）中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作周髀算经的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形矩 得到的一条直角边勾等于3,另一条直角边股等于4 的时候，那么它的斜边弦就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总 结
3、出来的呵。” 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期， 比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特 例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。在稍后一点的九章算术一书中（约在公元50至100年间）（右图），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的勾股章说；“把勾和股分另自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦”。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股
4、圆方图”用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）。赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、害U、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展， 只是具体图形的分合移补略有不同而已。 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。勾股定理的证明据不完全统计，勾股定理的证明
5、方法已经多达400多种了。下面我便向大家介绍几种十分著名的证明方法。【证法1（赵爽证明）以a、b为直角边（ba）,以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于1ab.把这四个直角三角形拼成2如图所示形状. Rt A DAH 9 Rt A ABE,/ HDA = / EAB / HAD + / HAD = 90o, / EAB + / HAD = 90o, ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于 c2.EF = FG =GH =HE = b a，/HEF = 90o.EFGH是一个边长为b-a的正方形，它的面积等于 （b _ a f .1 .22一4 一 ab，匕 a =
6、c2a2 b2 ）c2.【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分另ij为a、b、c的正方形，把它们像上图 那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ,所以面积相等.即a2+b2 +4 父1 ab = c2 +4 黑二 ab，整理22得 a2 b2 =c2.【证法3】（1876年美国总统 Garfield 证明）则每个直角三角形的面积等于以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形,把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上Rt A EAD 省 Rt A CBE,/ ADE
7、 = / BEC / AED + / ADE = 90 o, / AED + / BEC = 90 o./ DEC = 180o90o= 90 o. A DE比一个等腰直角三角形，它的面积等于1c2.2又 /DAE = 90o, /EBC = 90 o,AD/ BCABCD是一个直角梯形，它的面积等2(a+bf 于1211 9a b =2 ab c .222一 a2 b2 = c2.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏 黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个 小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什
8、么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心 驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢？ ”伽菲尔德答到：“是 5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理 吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步， 立即
9、回家，潜心探讨小男孩给他留 下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日，伽菲 尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一 证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人 们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统。”证法。【证法4（欧几里得证明）做三个边长分别为 a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H C B三点在一条直线上，连结 BF、CD过C作OLA DE,交AB于点M 交DE于点L. AF = AC, AB = AD, / FAB = / GADA FAB 色 A GA
10、DA FAB的面积等于!a2, A GAD勺面积等于矩形 ADLM勺面积的一半, 2矩形ADLM勺面积=1 .同理可证，矩形 MLEB勺面积=b2 .正方形ADEB的面积=矩形ADLM勺面积+矩形MLEB勺面积c2 =a2 +b2 ，即 a2 +b2 =c2.【证法5】（利用相似三角形性质证明）a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD如图，在Rt A ABC中，设直角边 AG BC的长度分别为LAB,垂足是D在A AD的A ACB中， Z ADC = Z ACB = 90o, Z CAD = / BAGA ADC s A ACB .AD： AC = AC : AB,即 AC2 =AD .AB .
11、同理可证， A CDB s A ACB从而有 BC2 =BD *AB.AC2 +BC2 =(AD +DB )AB =AB2，即 a2 +b2 = c2 【证法6】(邹元治证明)以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角豚则每个直角三角形的面积等于 眄把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直D b G a CA a E b B线上，C、G D三点在一条直线上. Rt A HAE 9 Rt A EBF,/AHE = /BEF /AEH + /AHE = 90 o, /AEH + Z BEF = 90 o./ HEF = 180o90o= 90
12、o.四边形EFGH一个边长为c的正方形.它的面积等于c2. Rt A GDH 9 Rt A HAE,/HGD = /EHA Z HGD + Z GHD = 90o,Z EHA + Z GHD = 90o.又 Z GHE = 90o,Z DHA = 90o+ 90 o= 180o. ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 （a+bf.1c=4ab c2.2,2. 22一a b = c .【证法7】（利用切割线定理证明）斜边AB = c .在Rt A ABC中，设直角边 BC = a , AC = b ,如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于 D、E,贝U BD =
13、 BE = BC = a .因为/ BCA = 90o,点C在0B上，所以AC是O B的切线.由切割线定理，得AC2 = AE *AD =(AB +BE【AB 一 BD 尸(c + a(c a 尸 c2 a2，2,22a b = c .【证法8】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt A ABC中，设直角边 BC = a , AC = b ,斜边AB = c .作Rt A ABC的内切圆。O,切点分别为D、E、F （如图），设。O的半径为r. AE = AF , BF = BD, CD = CE,AC BC - AB =：AE CE BD=CE CD = r + r = 2r,(a +b ) =
14、(2r +c )，即 a2 b2 2ab = 4 r2 rc 尸c2SBC =2ab，2 ab = 4S&bc，又， S , ABC = S . AOB S. BOC S . AOC1 cr211_ 1ar br = a b c r222_ 1_0- 22r c cr- r rc4(r + rc )=4S为bc，4(r2 + rc )= 2ab， a2 b2+ 2ab =2ab +c2，2=c .勾股定理的应用、填空题B 200m c1 .在 RtABC中，/ C=90 ,若 a=5, b=12,贝U c=若a=8, c=10,则 b=若c=61, b=60,则 a=520mC偏离欲到若a : b=3 : 4,c=10 贝 U Saabc=2 .如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点达点B200m,结果他在水中实际游了520m,求该河流的宽度为3 .如图，/ OAB= / OBC= / OCD=90 , AB=BC=CD=1 , OA=2 ,贝U OD2=.4 .已知直角三角形两直角边的长分别为3cm,4cm,第三边上的高为5 .等腰 ABC中，AB=AC=17cm BC=16cm 贝U BC边上的高 AD=，6 .在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水
