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1、第七讲 振动与波动湖南郴州市湘南中学 陈礼生一、知识点击1.简谐运动的描述和基本模型简谐振动的描述：当一质点，或一物体的质心偏离其平衡位置,且其所受合力F满足,故得,则该物体将在其平衡位置附近作简谐振动。简谐运动的能量:一种弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，即简谐运动的周期：如果能证明一种物体受的合外力,那么这个物体一定做简谐运动，并且振动的周期,式中m是振动物体的质量。弹簧振子：恒力对弹簧振子的作用：只要m和都相似，则弹簧振子的振动周期T就是相似的,这就是说,一种振动方向上的恒力一般不会变化振动的周期。多振子系统:如果在一种振动系统中有不止一种振子，那么我们一般要找振动系统的等
2、效质量。悬点不固定的弹簧振子：如果弹簧振子是有加速度的，那么在研究振子的运动时应加上惯性力单摆及等效摆：单摆的运动在摆角不不小于50时可近似地看做是一种简谐运动,振动的周期为,在某些“异型单摆”中，的含义及值会发生变化。（6）同方向、同频率简谐振动的合成：若有两个同方向的简谐振动，它们的圆频率都是，振幅分别为和A2,初相分别为和,则它们的运动学方程分别为 因振动是同方向的，因此这两个简谐振动在任一时刻的合位移仍应在同始终线上，并且等于这两个分振动位移的代数和，即由旋转矢量法,可求得合振动的运动学方程为这表白,合振动仍是简谐振动，它的圆频率与分振动的圆频率相似，而其合振幅为合振动的初相满足机械波
3、:（）机械波的描述:如果有一列波沿x方向传播，振源的振动方程为y=Aost,波的传播速度为,那么在离振源x远处一种质点的振动方程便是，在此方程中有两个自变量:t和x，当t不变时，这个方程描写某一时刻波上各点相对平衡位置的位移；当x不变时,这个方程就是波中某一点的振动方程()简谐波的波动方程：简谐振动在均匀、无吸取的弹性介质中传播所形成的波叫做平面简谐波。如果一列简谐波在平面内，以波速u沿轴正方向传播,振源（设其位于坐标原点)的振动方程为,由于波是振动状态的传播，故知坐标原点的振动状态传播到离振源处要滞后的时间。这表白若坐标原点振动了t时间,x处的质点只振动了的时间，于是x处振动质点的位移可表为
4、 显然，上式合用于表述ox轴上所有质点的振动，它就是平面简谐波的波函数，也常称为平面简谐波的波动方程。同理,如果简谐波沿ox轴负方向传播,则波函数为为了加深对波函数物理含义的理解,下面觉得例做讨论。当时(好似用摄像机对着坐标为这一质点进行拍摄），则。它表达的是坐标为的质点在不同步刻的位移,即该处质点的振动方程。当时（好似用照相机对一组质点在时刻进行照相)，则。它表达在给定的时刻各质点的位移分布状况,相应的图像称为时刻的波形图。3波的干涉和多普勒效应波的叠加:几列波在同一介质中传播时，在它们相遇的区域内,每列波都将保持各自原有的频率、波长和传播方向,并不互相干扰波的这种性质叫做波的独立性因此在几
5、列波重叠的区域内,每个介质质点都将同步参与几列波引起的振动,每个质点的振动都是由几种分振动合成的故在任一时刻,每个质点的位移都是几列波各自的分振动引起的位移的矢量和.这种现象称为波的叠加波的干涉：两列频率相似、振动方向相似、相位差恒定的波叫做相干波。两列相干波传到同一种区域,可使某些位置的质点振动加强,某些位置的质点振动削弱,并且振动加强和振动削弱的区域互相间隔，这种现象叫做波的干涉。多普勒效应：当声源和观测者之间存在相对运动时,会发生收听频率和声源频率不一致的现象.该种现象神称为多普勒效应.为了简朴,这里仅讨论波源或观测者的运动方向与波的传播方向共线的状况.设波速为,波的频率为,接受到的频率
6、为：（a)观测者以速度u向波源运动:()波源以速度向观测者运动:(c)波源和观测者都运动：二、措施演习类型一、根据简谐振动的基本模型和多种变形的振动模型，求振动周期是振动问题的一种基本类型，解题中要注意简谐振动的动力学特性或的形式，从中得出有关等效量。 例.一简谐运动的系统如图7所示，不计一切摩擦,绳不可伸长，m1、m及弹簧的劲度系数已知求m2上下振动的周期。分析和解:本题是一种弹簧振子的变式模型,解题时要根据受力分析由牛顿运动定律得出振动的动力学特性，然后由周期公式就可求出其振动周期设某一时刻弹簧伸长,绳上张力是FT。 分析m1: 分析：消去FT:,假设振子平衡时弹簧伸长,此时m1、m的加速
7、度为零，则有设m1偏离平衡位置的位移为,则 将代入式，可得 因此这个振子系统的等效质量是,周期为例2.如图72所示，轻杆AB左端A被光滑铰链固定，右端B被一劲度系数为2的弹簧拉住，弹簧的上端系于一固定点D。杆上的点系有另一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧的下端系有一质量为的物体。系统平衡时,杆恰处在水平而两弹簧轴线均沿竖直方向已知ACa,A=b,求杆绕A点在竖直平面内作微小振动的周期.分析和解:该题的解答过程即将整个系统等效为一弹簧振子并求其劲度系数的过程:将物体移动,计算出其受力为f=-kx,则k即为等效的劲度系数注意到系统在初始状态下已平衡,因此可以不考虑重力的影响.现设物体偏离平衡位置一极小位
8、移,由此而引起两个弹簧的长度变化为，,则有又AB为轻杆,其受合力矩必然为0.即由以上两式解得物体受力满足类型二、波的干涉问题大多是问题简朴,解答繁复,根据矢量叠加原理和波的干涉特性，大多产生多值问题，在解决此类问题时,一般先不急于代人数据，文字运算有助于从物理意义角度思考问题.例3如图73所示，在半径为5 的圆形跑道的P点和圆心点各有一种相似的扬声器,发出的都是波长10 m的完全相似的声波，一种人从直径的H点出发,沿逆时针方向绕圆周走一圈,问她离开H点后,达到P点前共听到几次最弱的声音？分析和解：本题是根据波的干涉原理来解决声波干涉的现象,解题时可从波程差和振动加强或削弱的条件出发。如图74所
9、示，设人走到圆弧上的A点处,A，则、Q两点波源到A的路程差S满足:=2Rco考虑人的运动范畴,对于,有, 为使人能听到最弱的声音,又应满足： 结合，将R5 m, =10 m代入，得到0,1,2,，4,5时，人能听到最弱的声音,共1次。类型三、波动问题的最大特性就是其多解性,涉及速度的正负方向，距离相差整数倍波长时振动的完全等效，都应仔细考虑，在解决此类问题时，一般应先求出产生多解量的体现式，然后通过文字运算得到所求量的体现式，最后根据有关物理意义拟定题解。例4.图75中的实线和虚线分别表达沿轴方向传播的正弦波=0和t=s时刻的波形。 (1）求该波的频率和波速; (2)写出X=及X1 处的质点振
10、动方程。分析和解：本题的特点是波的传播方向不拟定和周期的不拟定（或距离相差整数倍波长时振动的完全等效）形成多解。 (1)由题给图象可知，如果波向x正方向传播，则两时间间隔内该机械波也许向前传播了，其中n0，1,，,同理,如果波沿x轴负方向传播, (2）如果波向x轴正方向传播,则有x=时，m时，同理,如果波向x轴负方向传播，则有x=0时,x1时，类型四、等效摆的问题也简谐振动的另一基本模型单摆的变形模型，求振动周期时一般考虑等效摆长和等效重力加速度,但对于刚体构成的复摆,其等效量的计算往往要考虑质心及刚体的转动惯量才干简化解题过程。 例5.如图76所示，由匀质金属丝做成的等腰三角形可在图示平面内
11、作小振幅振动在位置（a）和（b）的情形,长边是水平的所有三种情形的振动周期均相等.试求出该周期分析和解:该题中,悬挂的三角形架为一复摆,而复摆的周期公式为，对象是刚体，I为刚体对悬点的转动惯量，h为质心与悬点间的距离此外,题中得出两位置相异、周期相似的置点与质量心间的距离S1、S2满足,与m,I无关，这是一种非常重要的结论。如图7，设三个悬点分别距金属架Sa,Sb，Sc，对于悬挂点距质心为S的复摆的周期T,讨论如下： 其中o为系统绕质心的转动惯量。将式视为一有关S的一元二次方程，则当T为一拟定位于AC的中点，Sac5cm,式的两解为Sa=5 ,S21. 6 m即类型五、多普勒效应的问题是波源或
12、观测者的运动与波的传播三者间的相对运动的问题,一般地说可化为行程问题来解,但解题过程会比较复杂,因此直接用推导得出的公式比较简朴。例6一种人站在广场中央，对着甲、乙、丙三个伙伴吹哨子(频率），甲、乙、丙距广场中央都是100m远，且分别在广场中央的南东北面，第四个伙伴丁从西面乘车以4m/的速度赶来,忽然有一阵稳定的风由南向北吹来，速度为速度为10m/s，如图8所示，求甲、乙、丙、丁四人听到哨声的频率各是多少？已知当时声速为30m/。分析和解:由于风吹动引起介质相对声源和观测者以速度运动,即,应用多普勒效应公式 对甲:,则对乙：由于在东西方向无速度分量，故,因此对丙:，对丁：0, 三、小试身手1如
13、果沿地球的直径挖一条隧道,求物体从此隧道一端自由释放达到另一端所需时间，设地球是一种密度均匀的球体，不考虑阻力，地球半径为R，如图7一9所示2.一根劲度系数为K的轻弹簧水平放置，一端固定,另一端连接一种质量为的物块，放在水平桌面上，现将物块沿弹簧长度方向拉离平衡位置O，使它到O点距离为时静止释放，此后物体在平衡位置附近来回运动,由于摩擦,振动不断衰减，当物块第次速度为零时，正好停在平衡位置处,求物块与桌面间的摩擦因数沿X方向传播的简谐波在时刻的波形如图一10所示,该波的振幅,波速u和波长均已知. (1)试写出该波的波动体现式. （)试画出时刻的波形图，其中T为周期4一固定的超声源发出频率为10
14、kH的超声波，一汽车向超声源迎面驶来，在超声源处接受到从汽车反射回来的超声波,其频率从差频装置中测出为10H,设空气中声波速度为300 /s,计算汽车行驶速度.解:设汽车相对于空气以速度u趋近超声源.从超声源发出的超声波达到汽车时，汽车是运动的接受装置,超声波从汽车反射时，汽车又是以速度u运动的声源因此,从固定的接受装置接受到的反射波频率为由此可解出为即为汽车的行驶速度.5一平面简谐波向负方向传播，振幅为6cm，圆频率 ,当t=s时,距原点O 1cm处的A点的振动状态为,；而距原点22m处的点的振动状态为,设波长，求波动方程（用余弦函数表达）并画出时的波形图同一媒质中有两个平面简谐波，波源作同频率、同方向、同振幅的振动，二波相对传播,波长为，波传播方向上A、B两点相距m,一波在处为波峰时，另一波在B处位相为，求AB连线上因干涉而静止的各点的位置。7两辆汽车与，在t=0时
