《新课标高一数学——函数奇偶性经典高考必考例题(精华)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新课标高一数学——函数奇偶性经典高考必考例题(精华)（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、函数的奇偶性典型例题一、关于函数的奇偶性的定义.定义说明：对于函数f 3)的定义域内任意一个x : f (-x) = f (x) O f (x)是偶函数； f (-x) = - f (x) O f (x)奇函数;函数的定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的必要不充分条件。二、函数的奇偶性的几个性质 、对称性：奇(偶)函数的定义域关于原点对称； 、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立； 、可逆性：f (-x) = f (x) O f (x)是偶函数；f (-x) = - f (x) O f (x)奇函数； 、等价性：f (-x) = f (x) O f (-x) -
2、f (x) = 0f (-x) = - f (x) O f (-x) + f (x) = 0 、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称； 、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。三、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查f (x)是否与-f (x)、f (x)相等，判断步骤如下： 、定义域是否关于原点对称； 、数量关系f (-x) = f (x)哪个成立；例1：判断下列各函数是否具有奇偶性、f (x) = x 3 + 2 x、f (x) = 2x4 + 3x2、x 3
3、x 2 f (x)=-x -1、f (x) = x2 x eL 1,2、f(x) =5 2 + *2 x、f(x) =、;x2 1 + V1 x2解：为奇函数为偶函数为非奇非偶函数为非奇非偶函数 为非奇非偶函数 既是奇函数也是偶函数注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。x2 (x 0)例2：判断函数f (x) =八、的奇偶性。x2 (x 0,即x 0时,有f (x) = (x)2 = x 2 = f (x)当 x 0时,有f (x) = (x)2 = (x)2 = f (x) 总街(x) = f (x), 故f (x)为奇函数.第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则(前提条件为两
4、个函数的定义域交集不为 空集)：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非 奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的 积是奇函数。四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。命题1函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分 条件。此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点 可以由奇偶性定义直接得出。命题2两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定 义；另一方面，两个奇函数的差或
5、两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(xE-1,1)，g(x)=x(xE-2,2)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差 只在区间-1，1上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶 函数。命题3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。此命题错误。一方面，对于函数|f(x)| = ff、 0、不能保证f(-x)=f(x )或 -f (x),(f (x) 0),f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。 如果所给函数的定义域关于原点对称，那
6、么函数f(|x|)是偶函数。命题4如果函数f(x)满足：|f(x)| = |f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶函数。x.(x = 2nn e N)此命题错误。如函数f(x)= x 2 -2n；ine N)从图像上看，f(x)的图像既不关于原点 对称，也不关于y轴对称，故此函数非奇非偶。命题5函数f(x)+f(-x)是偶函数，函数f(x)-f(-x)是奇函数。此命题正确。由函数奇偶性易证。命题6已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。此命题正确。由奇函数的定义易证。命题7已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)= 0有实根，那么方程f(x)=0的所有实根 之和为零；
7、若f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程f(x)=0有奇数个实根。此命题正确。方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x轴的交点的横坐标，由奇偶性的定 义可知：若f(x0)=0，则f(-x0)=0。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有f(0)=0。故原命 题成立。五、关于函数按奇偶性的分类全体实函数可按奇偶性分为四类：奇偶数、偶函数、既是奇函数也是偶函数、 非奇非偶函数。六、关于奇偶函数的图像特征例1：已知偶函数y = f (x)在y轴右则时的图像如图(一)试画出函数y轴右则的图像。图(一)七、关于函数奇偶性的简单应用1、利用奇偶性求函数值那么f (2)=例 1：已知 f (x) = x5
8、+ ax3+ bx - 8 且 f (-2) = 102、利用奇偶性比较大小例2：已知偶函数f 3)在(-8,0)上为减函数，比较f (-5), f,f (3)的大小。3、利用奇偶性求解析式例3：已知f (x)为偶函数当0 x 1时,f (x) = 1 x,当-1 x 0时，求f (x)的解析式？4、利用奇偶性讨论函数的单调性例4：若f (x) = (k 2)x2 + (k 3)x + 3是偶函数，讨论函数f的单调区间？5、利用奇偶性判断函数的奇偶性例5：已知函数f (x) = ax3 + bx2 + ex(a。0)是偶函数，判断g(x) = ax3 + bx2 + cx的奇偶 性。6、利用奇偶性求参数的值例6：定义在R上的偶函数f (x)在(8,0)是单调递减，若f (2a2 + a +1) f (3a2 2a +1)，则a的取值范围是如何？7、利用图像解题例7(2004.上海理)设奇函数f(x)的定义域为-5,5.若当xE 0,5此/加时， f(x)的图象如右图，则不等式f G) 0的解 一厂是.8、利用定义解题例8.已知函数f (x)=a二.，若f (x)为奇函数，则a =。2x+1
