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1、专题5导数的应用一含参函数的单调性讨论“含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考 复习的重点从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数 的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视.一、思想方法：f(x) 0xf(x) 0xD 时 f(x)D 时 f(x)D 时 f(x)AC000B .f(x)增区间为A,B和D .f (x)增区间为C,D和f (x)在区间D上为增函数 f (x)在区间D上为减函数 f (x)在区间D上为常函数x讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论.、典例讲解a典例1讨论f(x
2、) x 的单调性，求其单调区间.xa解：f(x) x -的定义域为(,0)(0,)x2a x a2f(x)122 (x 0)(它与 g(x) x a 同号)x xl)当 a 0时，f(x)0(x0)恒成立，此时f(x)在(，0)和(0,)都是单调增函数， 即f (x)的增区间是(，0)和(0,);II)当 a 0 时 f (x)0( x 0) x 、a或x 、af (x)0(x0)、a x 0 或 0 x . a此时f(x)在(，a)和(、.a,)都是单调增函数，f (x)在(-a,0)和(0, . a)都是单调减函数，即f(x)的增区间为(，-.a)和C、a,)；f (x)的减区间为(a,0
3、)和(0, - a).步骤小结：1、先求函数的定义域，2、 求导函数(化为乘除分解式，便于讨论正负)，3、先讨论只有一种单调区间的(导函数同号的)情况，4、再讨论有增有减的情况(导函数有正有负，以其零点分界)5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并.变式练习1讨论f(x) x alnx的单调性，求其单调区间.解：f (x) x alnx的定义域为(0,)a x af(x) 1(x 0)(它与 g(x) x a 同号)x xI) 当 a 0时，f(x)0(x0)恒成立，此时f (x)在(0,)为单调增函数，即f (x)的增区间为(0,)，不存在减区间；II) 当 a 0时 f(x)0(x
4、0) x a ；f(x)0(x0)0 x a此时f(x)在(a,)为单调增函数，f (x)在(0, a)是单调减函数，即f (x)的增区间为(a, ); f (x)的减区间为(0, a).典例2讨论f(x) ax In x的单调性.解：f (x) ax In x的定义域为(0,)1 ax 1宀-nf (x) a(x 0)(匕与 g(x) ax 1 同号)x x1I) 当a 0时，f(x) 0(x 0)恒成立(此时f(x)0 x 没有意a义)此时f (x)在(0,)为单调增函数，即f (x)的增区间为(0,)II) 当 a 0 时，f(x)0(x 0)恒成立，1(此时f(x) 0 x不在定义域内
5、，没有意义)a此时f (x)在(0,)为单调增函数，即f(x)的增区间为(0,)1III) 当 a 0时，令 f(x)0 xa于是，当x变化时，f(x), f (x)的变化情况如下表：(结合g(x )图象定号)x1(0,-)a丄a(-,) af(x)0f(x)增/减1 1所以， 此时f (x)在(0,)为单调增函数，f (x)在(一，)是单调减函数,aa11即f (x)的增区间为(0, -)； f (x)的减区间为(一，).aa小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性.即先求出f(x)的零点，再其分区间然后定f(x)在相应区间内的符号一般先讨论f(x) 0无
6、解情况，再讨论解f(x) 0过程产生增根的情况(即解方程变形中诸如平方、 去分母、去对数符号等把自变量x范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的)即根据f(x)零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间(最 好结合导函数的图象)确定相应单调性.1 2变式练习2讨论f (x) ax In x的单调性.2In x的定义域为(0,)解：f (x)1 2ax2f(x) axax1 21 “(xf(x)0xax210(x0),它与 g(x)0),ax21同号.舍去)0时，无解;0时,xa(另一根不在定义域内ai)当 a0 时，f(x)0(x20)恒成立 (此时f(x)0 xii)
7、当 a此时f (x)在(0,0 时，f(x)0(x(此时方程ax21此时f (x)在(0,)为单调增函数，即 f (x)的增区间为0)恒成立，1-没有意义)a(0,0判别式0,方程无解)为单调增函数，即f(x)的增区间为(0,iii)当a 0时，当x变化时，f (x), f (x)的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号所以，此时f (x)在(0,、-)为单调增函数，f(x)在(a)是单调减函数,x(07 a)n(E )f(x)0f(x)增/减即f (x)的增区间为(0,典例3求f (x) 解：a2x3 ax2 x 1的单调区间.f(x) a2x3 ax2 x 1的定义域为R,2 22ax 1
8、 (3ax 1)(ax 1)1 0f (x)在R上单调递减，f (x)减区间为R,无增区间.当 a 0 时，f(x)ii)所以此时,f (x)的增区间为0时,XiX21)和(右,a 3af(x)的减区间为(f(x)f(x)13a所以此时，f(x)的增区间为);f(x)的减区间为f(x) 3a X2II)当 a 0 时 3a 0 ,f (x)是开口向上的二次函数，令 f(x)0得X11,X21(a0),因此可知(结合 f(x)的图象)3aai)当a0时，X1X211 ；J1 1f(x)0X或Xf(x)0XI)(31小结：见的是化为二次型不等式讨论，当二次函数开口定且有两根时， (分大、小、等三种
9、情况)-).a求函数单调区间可化为导函数的正负讨论(即分讨论其相应不等式的解区间)，常单的问题，需看开口及两根大小，注意结合图象确定相应区间正负.1 312变式练习3求f(x) x ax32f (x)的定义域为R, f(x)x 1的单调区间.解:x2I)II)f (x)是开口向上的二次函数，2 a 2 时，f (X)在R上单调递增,a2或a 2时r2a - a2当 0所以此时令 f(x)0得Xiax 12af(x)0恒成立f (x)增区间为R,无减区间.4,X2a242 ，X1 X2般要注意讨论两根大小 。含参二次不等式解时要先看能否因式分解，若能则是计算简因此可知（结合f（X）的图象）f（X
10、）与f （x）随x变化情况如下表x(,Xi)Xi(Xi,X2)X2(X2,)f(x)00f(x)增/减增/2o nt I oaaa ZL所以此时，f （X）的增区间为（，）和（，）；2 2a Va24 a v a24f （x）的减区间为（，）2 2小结：三次函数的导函数是常见二次函数，当二次函数开口定时对其正负进行讨论的，要根据判别式讨论：无根的或两根相等的导函数只有一种符号，相应原函数是单调的较简单 应先讨论；然后再讨论有两不等根的，结合导函数图象列变化表， 注意用根的符号X1,x2代替复杂的式，最后结论才写回个别点处导数为0不影响单调性只有在某区间内导数恒为0时，相应区间内原函数为常数，一
11、般中学所见函数除分段函数和常函数外不会出现此 种情况.总结：求单调区间要确定定义域 ，确定导函数符号的关键是看分子相应函数，因此讨论点有：第一是类型（一次与二次的根个数显然不同）；第二有没有根（二次的看判别式），第三是有根是否为增根（在不在 定义根内；第四有根的确 定谁大；第五看区间内导函数的 正 负号（二次函数要看开口） 确记要数形结合，多数考题不会全部讨论点都要讨论的，题 中往往有 特别条件，不少讨论点会同时确定（即知一个就同时确定另一个）判别式与开口的讨论点先谁都可以，但从简单优先原则下可先根据判别式讨论，因为当导函数无根时 它只有一种符号，相应原函数在定义域内（每个连续的区间）为单调函
12、数较简单.导数的应用一含参函数的单调性讨论 班级姓名1.已知函数f (x) In x a，求f (x)的单调区间x解：函数的定义域为(0,),x a2 x令f x0得：x a若a0即 a0,则 f x 0,f x在(0,)若a0即a 0,则由f x0得x-a,由f xf x在(a,)上单调递增,在 0,-a总之，当a 0时，f x在(0,)上单调递增；当1 a 0时，f x在(a,)上单调递增，在xx上单调递减.0,-a上单调递减12.已知函数f(x)= x2、I 乡 J V 1=1 70 得 x0,故f (x)在(0,)单调递增.x 若0a由 f(x)0得，a 1故f(x)在(a 1,1)单调递减，在(0,a 1),(1, 若a 11,即a由 f(x)0得，故 f (x)在(1,a综上所述，当a 1,当111,即 1 a2时,由f (x)0得,0 x a 1 或x 1 )单调递增.2时,1 x a 1 ；由 f (x)0 得,1)单调递减，在(0,1),(a1,f (x)单调增区为(1,0 x 1 或 x a 1 )单调递增.),减区间是(0,1);a 2时，f (x)的减区间是(a 1,1)，增区间是(0,a 1),(1,)； 当a 2时，f(x)在定义域上递增，单调增区为 (0,)(不存在减区间)
