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1、#泛函分析作业1邵晨2016年9月15日1.1.5.设F是压缩映射，求证Tn (n e N)也是压缩映射.并说明逆命题不成立。 证原命题：因为T是压缩映射，所以存在0 V V 1,使p(Tx,Ty) WW e 龙故有,p(T%厂y)=p(T(厂-),(厂-1讪)W卯(厂-匕厂-妆)W 3心,水 ap(x, y)y故原命题得证。证逆命题：假设，当T是压缩映射时，尸(讥 N)也是压缩映射。即存在0 V V 1,使pTnx,Tny) Qpx.y)卩(盯也盯y)当选取二元函数的绝对值距离定义时，即/9：讪=|工火)|,容易找到，斜率大 于a的情形。想了好久想不出很合适的，但是一定有的。1.1.6.设M
2、是(R, p)中的有界闭集，映射T : Af-M满足：p(Tx,Ty)p(x,y)(V x、y e M、x#y).求证：T在M中存在唯一的不动点。先证明T存在不动点，再证明不动点是唯一的。存在性：假设不动点存在且为,存在性即证“(,Qto)tO, %为不动点。取 y=o, p(TxiTxo)0 Hf, p(Tx,Txo)0.利用三角不等 式可得 p(x,Txo) p(x, xo)-p(xo,Txo)-p(Txo,Tx)由距离的非负性可得： p(x,Tx)-p(xo,Txo)p(x,xo)p(TxiTxo)可得到px,Tx)在M是连续的。感觉不到有界闭集的条件和Banach定理的条件有多远，以及
3、有界闭集有哪些重要性质。唯一性：假设存在两 个不动点：y.z.先证T是一个压缩映射。根据题意存在任意小的,当取a=l-e(0al )可得到，p(Tn,Ty)W(aY)卩(些切0,根据 压缩映射定义，存在0 VaVl,使0(z,y)=P(Tzfy)WaQ(z,y)Wp(z,y),显然矛盾，故不动点唯一。1.1.7对于积分方程x(t)入/ e_sx(s) ds = yJo其中，y(t) e C 0 , 1 为一给定函数.A为常数，| A |,u=(Tz)(t) i I J2r(t)da, v=z(t) i加 dsp(TuTv) = max | 入 / u(s) ds A /以0山 JoJo1v(s
4、) ds |W| 入 | max / u(s) v(s) ds W max A | u(s) v(s) |= p包$ v)K=N,于是有dxnk - xo） 0 ,存在基本列咖,使得P（-n,2/n） V （n f IHI）,求证xn收敛。其实不会，用高等数学的残留证明如下：假设：一映射F: Xf X xny yn.根据题意可知T是连续的，因为 yn是基本列，且T连续，则丁按 坐标收敛，即 xn收敛。1.3.1在完备的度量空间中求证：为了子集4是列紧的.其充分且必要条件是对 Ve0,存在4的列紧集。1.3.1和1.3.3很抱歉不会。因为这节课的内容没太搞明白，可能还需要一些时间, 如果老师不介意，下次作业也许会带上这两道题一起交。#说明：首先非常感谢老师愿意为我这个非数学专业的学生批改作业，荣幸之 至。1. 很抱歉第一次作业做的很糟糕。原因有很多，但是自己会尽力赶上。在完成 作业前看到了一个版本的参考书里有一模一样的题，所以坦白涉嫌抄袭，蓝 色部分是遇到的题目中炒过来的步骤，也是我没想到的。2. 因为之前没有用过Lntcx,所以在第一次排版上有太多的缺陷，老师如果愿 意尽管指出来，再次感谢老师！感觉到老师虽然顽皮亲切，但是对学生要求 却很高，学生煌恐，会尽力赶上。
