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1、专题：利用洛必达法则巧解高中数学一定理内容洛必达法则：设函数、满足：（1）（或）；（2）在内，和都存在，且；（3） （可为实数，也可以是）.则.【热身练习】(1) 求 (2) 求 （3）求解：（1）（2）（3）二定理应用例1、(06年全国卷II理第20题)设函数。若对所有的，都有成立，求实数的取值范围。解：当时，显然成立，则当时，不等式成立即为。令，对求导得令，则，在上为增函数=0，所以0，所以在上是增函数。，所以。综合上述所知：例3、(06年重庆卷理第20题)已知函数，其中为常数。(I) 若，讨论函数的单调性；(II) (II) 若，且试证：（2023新）例：已知函数，曲线在点处的切线方程为
2、.（）求、的值； （）如果当，且时，求的取值范围.（）略解得，.（）方法一：分类讨论、假设反证法由（）知，所以.考虑函数，则.(i)当时，由知，当时，.因为，所以当时，可得；当时，可得，从而当且时，即；（ii）当时，由于当时，故，而，故当时，可得，与题设矛盾.（iii）当时， ，而，故当时，可得，与题设矛盾.综上可得，的取值范围为.注：分三种情况讨论：；不易想到.尤其是时，许多考生都停留在此层面，举反例更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升. 当，且时，即，也即，记，且则，记，则，从而在上单调递增，且，因此当时，当时，；当时，当时，所以
3、在上单调递减，在上单调递增.由洛必达法则有 ，即当时，即当，且时，.因为恒成立，所以.综上所述，当，且时，成立，的取值范围为.注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数分离出来.然后对分离出来的函数求导，研究其单调性、极值.此时遇到了“当时，函数值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.例（2023新）：设函数.（）若，求的单调区间；（）当时，求的取值范围.应用洛必达法则和导数（）当时，即.当时，；当时，等价于.记，则. 记，则，当时，所以在上单调递增，且，所以在上单调递增，且，因此当时，从而在上单调
4、递增.由洛必达法则有，即当时，所以当时，所以，因此.综上所述，当且时，成立.自编：若不等式对于恒成立，求的取值范围.解：应用洛必达法则和导数当时，原不等式等价于.记，则.记，则.因为，所以在上单调递减，且，所以在上单调递减，且.因此在上单调递减，且，故，因此在上单调递减.由洛必达法则有，即当时，即有.故时，不等式对于恒成立.通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足：（1）可以分离变量；用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；出现“”型式子.2023海南宁夏文（21）已知函数.（）若在时有极值，求函数的解析式；（）当时，求的取值范围.解：（）应用洛必达法则和导数时，即.
5、当时，；当时，等价于，也即.记，则.记，则，因此在上单调递增，且，所以，从而在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，所以，即有.综上所述，当，时，成立.2023全国大纲理（22）设函数.（）证明：当时，；（）设当时，求的取值范围.解：（）略（）应用洛必达法则和导数由题设，此时.当时，若，则，不成立；当时，当时，即；若，则；若，则等价于，即.记，则.记，则，.因此，在上单调递增，且，所以，即在上单调递增，且，所以.因此，所以在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，即有，所以.综上所述，的取值范围是.（2023）例：设函数（）求的单调区间；（）如果对任何，都有，求的取值范围解：（） 当（）时，即；当（
6、）时，即因此在每一个区间（）是增函数，在每一个区间（）是减函数 （）应用洛必达法则和导数若，则；若，则等价于，即则.记，因此，当时，在上单调递减，且，故，所以在上单调递减，而.另一方面，当时，因此.1.(2023年全国新课标理)设函数。(1) 若，求的单调区间； (2) 若当时，求的取值范围原解：（1）时，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加（II）由（I）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，而，于是当时，.由可得.从而当时，故当时，而，于是当时，.综合得的取值范围为原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解:（II）当时，对任意实数a,均在；当时，等价于令(x
7、0),则，令，则，知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。由洛必达法则知，故综上，知a的取值范围为。2（2023年全国新课标理）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（）求、的值；（）如果当，且时，求的取值范围。原解：（）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。（）由（）知，所以。考虑函数，则。（i）设，由知，当时，h（x）递减。而故当时，可得；当x（1，+）时，h（x）0从而当x0,且x1时，f（x）-（+）0，即f（x）+.（ii）设0k0,故（x）0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）0，可得h（x）0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得 h（x）
8、0,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（-，0原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解：（II）由题设可得，当时，k=0在上为增函数=0当时，当x（1，+）时，当时，当x（1，+）时，在上为减函数，在上为增函数由洛必达法则知，即k的取值范围为（-，0例2、(06年全国卷II理第20题)设函数。若对所有的，都有成立，求实数的取值范围。解：当时，显然成立，则当时，不等式成立即为。令，对求导得令，则，在上为增函数，=0，所以0，所以在上是增函数。，所以。综合上述所知：例3、(06年重庆卷理第20题)已知函数，其中为常数。(I) 若，讨论函数的单调性；(II) 若，且试证：解：(I)略(II)由由罗比塔法则得即所以所以因此解得。巩固练习：1、 求下列不定式极限：(1) (2)2、 (07年全国卷I理第20题)设函数(I) 证明：的导数；(II) 若对所有都有，求的取值范围
