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1、指数与指数函数知识梳理1 .指数(1) n次方根的定义若Xn=a,则称x为a的n次方根，“ nT ”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0;正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0,负数没有偶次方根.(2)方根的性质当n为奇数时，n/=an为偶数时，nan =|a|=a (aa (a0),0).(3)分数指数幕的意义mn1).an=2am (a0, m、n都是正整数,11= (a0, m、n 都是正整数，n1). n ama n2.指数函数(1)指数函数的定义一般地，函数y=ax (a0且a*1)叫做指数函数.(2)
2、指数函数的图象底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y轴对称.(3)指数函数的性质定义域：R.值域：(0, +oo)过点（0, 1）,即x=0时，y=1.当a1时，在R上是增函数；当点击双基1.3a - hr 等于A. _ V aC. . aii解析：Va - V-a =a3 （ a） 6 =答案：A2. （2003年郑州市质量检测题）函数 x解析：y=23 =（灯2 ） x.沥1, 不可能选D.x又当x=1时，23 x,而当x=3时, 答案：C0a1时，在R上是减函数.B.而D. , a1 11（a） =- （-a） 2.xy二2三的图象与直线y=x的位置关系是x2号0且a*1）的图象经过二
3、、三、四象限，则一定有a01 且 b0a 1 且 b1 且 b0且a* 1)的图象有 两个公共点，则a的取值范围是.解析：数形结合.由图象可知02a1, 0a -.21答案：0al26. 函数y= (1) x2 2x2的递增区间是 .解析：= y二 (1) x在(一, +oo)上是减函数，而函数 y=x22x+2= (x1) 2+12的递减区间是(8,1，.原函数的递增区间是(8,1.答案：(一8, 1 典例剖析【例1】下图是指数函数(1) y=ax, (2) y=bx, (3) y=cx, (4) y=dx的图象，贝U a、 b、c、d与1的大小关系是 b1cda1dc a bcdb1dc剖
4、析：可先分两类，即(3) (4)的底数一定大于1, (1) (2)的底数小于1,然后再从(3) (4)中比较c、d的大小，从(1) (2)中比较a、b的大小.解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于 x轴.得ba 1dd1a1b1,ba 1 dc.【例2】 已知2x2 x ( 1) x 2,求函数y=2x2一x的值域.4解：2x2 x2 2(x 2), . . x2+x4-2x,即 x2+3x-40恒成立，求a的取值范 围.1 2x , 一解：由题意，得1+2x+4xa0在x (oo, 1上恒成立，
5、即a在xC (一4x8, 1上恒成立.又一 11 = (1) 2x- (1) x=- (1) x+12+1，当 x (一 4x2222400 1时值域为(00 - -,.a .44评述：将不等式包成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法.闯关训练夯实基础1 .已知 f (x) =ax, g (x) = logbx,且 lga+lgb=0, a*1, bw1,贝 y=f (x)与 y=g (x)的图象A.关于直线x+y=0对称C.关于y轴对称解析：lga+lgb=0 ab=1.B.关于直线x- y=0对称D.关于原点对称g (x) = lOgbx= lOga 1x=lOgax. f
6、(x)与g (x)的图象关于y=x)ct称.答案：B2 .下列函数中值域为正实数的是= -5x（2）x 1=（3）1=. 1 2x解析：、（3）x的值域是正实数，而1-xeR, .-.y=（3）勺值域是正实数.3.化简?遍： （押）4聆(a0,b0）的结果是解析：原式=a，b (ab2)31ab2 (b)3 a31110 4a2b a6b3 _ a6 b3 _ a27= -2T =一一 -ba3b3a3b3答案：B答案：a4.满足条件mm2 （mm） 2的正数m的取值范围是解析：: m0, .当 m1 时，有 m22m,即 m2；当 0 m 1 时，有 m22m,即 0m2或0m2或0m15.
7、 （2004年湖北，理7）函数f （x） =ax+loga （x+1）在0, 1上的最大值与最小值的和为a,则a的值为解析：f ( x )在0 , 1 上是单调函数，由已知f （0） +f （1）a=-.2=a1+loga1+a+loga2=aloga2=1答案：B6.已知9x 10 - 3x+90,求函数y= （；） x1-4 （；） x+2的最大值和最小值.1解：由 9x 10 3x+900得(3x1) (3x 9) 0,解得 103x09. . 0x2.令(1) 2餐3 则工&t&1, y=4t2 4t+2=4 (t- - ) 2+1.当 仁即 x=1 时，ymin=1 ;当 t=1 即
8、 x=0 422时，Ymax=2.培养能力7 .若 a2x+1 - ax 1 0 且 a*1),求 y=2a2x3 - ax+4 的值域. 22解：由 a2x+- ax - 0且 aw 1)知 0ax0 1 . 222令ax=t,则0t&L y=2t2 3t+4.借助二次函数图象知y 3, 4).28 . (2004年全国田，18)解方程 4x+|1-2x|=11.解：当 x0.原方程4x-2x-10=0 2x=1 土巨2x=1叵 2222221知x0(无解).当 x0 时，12x 0.1 7原万程4x+2x12=0 2x=- - -2x= 4 (无解)或 2x=3 x=log23 (为原万程
9、的解).探究创新9.若关于x的方程25+1|45一|x+1|m=0有实根，求m的取值范围.解法一：设y=5 x+1|,则00且 f (1) 0,得30m0, a*1)的图象和性质受a的影响，要分a1与0a0, a*1),因此，它们都不是指数函数.教师下载中心教学点睛.对于含有字母参数的两个函数式1 .本小节的重点是指数函数的图象和性质的应用比较大小或两个函数式由于自变量的不同取值而有不同大小关系时，必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论.用好用活指数函数单调性，是解决这一类问题的关键.2 .对可化为a2x+b ax+c=0或a2x+b ax+c 0 ( 0)的指数方程或不等式，常借助 换元法解决，但应提醒学生注意换元后“新元”的范围.拓展题例1 a b【例11若60a=3, 60b=5.求12而百的值.解：a=log603, b= log605,1 b = 1 log605= log6012,1 a b= 1 log603 log605= log604,1 a b1122rb) : 12210g124 : 12log122 =2.【例2】 方程2x=2-x的解的个数为解析：方程的解可看作函数y=2x和y=2x的图象交点的横坐标，分别作出这两个 函数图象(如下图).由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解答案：1评述：无法直接求解的方程问题，常用作图法来解，注意数形结合的思想
