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1、高考复习指导讲义第十一章参数方程、极坐标一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构1.直线的参数方程(1)标准式过点Po(x0,y0)，倾斜角为的直线l(如图)的参数方程是x=x+tcosa0y=y0+tsina(t为参数)(2)一般式过定点P0(x0,y0)斜率k=tg=
2、ba的直线的参数方程是y=y+btx=x+at00(t不参数)在一般式中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a2+b2=1,即为标准式，此时，t表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b21，则动点P到定点P0的距离是a2+b2t.直线参数方程的应用设过点P0(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程是x=x+tcosa0y=y0+tsina（t为参数）若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则(1)P1、P2两点的坐标分别是(x0+t1cos,y0+t1sin)(x0+t2cos,y0+t2sin)；(2)P1P2=t1-t2;(3)线段P1P2的中点P所对应的参数为
3、t，则t=t1+t22中点P到定点P0的距离PP0=t=1(4)若P0为线段P1P2的中点，则t1+t2=0.t+t222.圆锥曲线的参数方程(1)圆圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是x=a+rcosjy=b+rsinj是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，0,2(见图)(是参数)(2)椭圆椭圆x2y2+2ab2=1(ab0)的参数方程是y=bsinj(为参数)x=acosj椭圆y2y2+a2b2=1(ab0)的参数方程是y=asinjx=bcosj(为参数)x=rcosqy=rsinqtgq=(x0)3.极坐标极坐标系在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角
4、度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫做极轴.极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标设M点是平面内任意一点，用表示线段OM的长度，表示射线Ox到OM的角度，那么叫做M点的极径，叫做M点的极角，有序数对(,)叫做M点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；极轴与x轴的正半轴重合两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式r2=x2+y2yx三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例1在圆x2+y2-4x-2
5、y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解：将圆的方程化为参数方程：y=1+5sinqx=2+5cosq（q为参数）则圆上点P坐标为(2+5cosq，1+5sinq)，它到所给直线之距离d=120cosq+15sinq+3042+32故当cos(-)=1，即=时，d最长，这时，点A坐标为(6，4)；当cos(-)=-1,即=-时，d最短，这时，点B坐标为(-2，2).(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.例2极坐标方程=A.直线12+3sinq+cosqB.椭圆所
6、确定的图形是（）C.双曲D.抛物线21+(36)解：=11+cosq)22(三)综合例题赏析=1121+sin(q+p例3椭圆x=3+cosFy=-1+5sinFA.(-3，5)，(-3，-3)C.(1，1)，(-7，1)(F是参数)的两个焦点坐标是（）B.(3，3)，(3，-5)D.(7，-1)，(-1，-1)解：化为普通方程得(x-3)2(y+1)2+=1925a2=25,b2=9,得c2,c=4.F(x-3,y+1)=F(0,4)在xOy坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).应选B.例4参数方程22qqx=cos+siny=1(1+sinq)2(0q2p)表示A.双曲线的一支，
7、这支过点(1，12)B.抛物线的一部分，这部分过(1，12)1C.双曲线的一支，这支过(-1，)2解：由参数式得x2=1+sin=2y(x0)1D.抛物线的一部分，这部分过(-1，)2即y=12x2(x0).应选B.例5在方程x=sinqy=cosq(为参数)所表示的曲线一个点的坐标是()A.(2,-7)B.（133C.(22D.(1，0)121，），)解：y=cos2q=1-2sin2q=1-2x2将x=11代入，得y=22应选C.例6下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是()x=tx=costA.B.y=ty=cos2tx=tgtC.1+cos2ty=1-cos
8、2tx=tgtD.1-cos2ty=1+cos2t解：普通方程x2-y中的xR，y0，A.中x=t0，B.中x=cost-1,1，故排除A.和B.2cos2t11=C.中y=ctg2t=，即x2y=1，故排除C.2sin2ttg2tx2应选D.例7曲线的极坐标方程=sin化成直角坐标方程为()A.x2+(y+2)2=4B.x2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4解：将=x2+y2，sin=应选B.yx2+y2代入=4sin，得x2+y2=4y，即x2+(y-2)2=4.例8极坐标=cos(p4-q)表示的曲线是()A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆2(cos+
9、sin)解：原极坐标方程化为=12r2=cos+sin，普通方程为2(x2+y2)=x+y，表示圆.应选D.例9在极坐标系中，与圆=4sin相切的条直线的方程是()A.sin=2B.cos=2C.cos=-2D.cos=-4例9图解：如图.C的极坐标方程为=4sin，COOX,OA为直径，OA=4,l和圆相切，l交极轴于B(2，0)点P(,)为l上任意一点，则有cos=OBOP=2r，得cos=2，应选B.qcosq-1解：4sin22=542r=2rcosq-5.例104sin22=5表示的曲线是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线q2把=x2+y2cos=x，代入上式，得2x2+y2=2x-5.平方整理得y2=-5x+254.它表示抛物线.应选D.例11极坐标方程4sin2=3表示曲线是()A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线解：由4sin2=3,得4应选B.四、能力训练(一)选择题y2x2+y23,即y2=3x2，y=3x,它表示两相交直线.1.极坐标方程cos=43表示()A.一条平行于x轴的直线C.一个圆B.一条垂直于x轴的直线D.一条抛物线
