《第二十讲飞跃从全等到相似含问题详解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二十讲飞跃从全等到相似含问题详解（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、word第二十讲 飞跃-从全等到相似 全等三角形是相似三角形的相似比等于1的特殊情况，从全等到相似是认识上的一个巨大飞跃，不但认识形式上有质的变化而且思维方式也产生突变，相等是全等三角形的主旋律，在相似形的问题中出现的线段间的关系比全等形中的等量关系复杂，不仅有比例式，还有等积式、平方式、线段乘积的和、差、线段比的和差等 通过寻找(或构造)相似三角形，用以计算或论证的方法，我们称为相似三角形法，在线段长度的计算、角相等的证明、比例线段的证明等方面有广泛的应用，是几何学中应用最广泛的方法之一熟悉以下形如“A型、“X型“子母型等相似三角形例题求解 【例1】如图，ABC中，ABC=60，点P是ABC
2、一点，使得APB=BPC=CPA，且PA=8，PC=6，如此PB= (2002年全国初中数学竞赛题) 思路点拨 PA、PB、PC分别是ABP、BCP的边，从判定这两个三角形的关系入手注 相似是几何中的一个概念，但相似性不仅表现在事物的几何形态上，而且还表现在事物的功能、结构、原理上 类比推理也贯穿在物理学的全部开展过程中，著名物理学家麦克斯韦曾说：“借助类比，我试图以便利的形式提出研究电现象所必须的数学手段和公式在新事物面前，人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比这里蕴含的思想方法就是类比 【例2】 a、b、c分别是ABC的三边的长，且，如此它的角A、B的关系是( ) AB2A BB=2
3、A CBAE) (1)AEF与EFC是否相似，假如相似，证明你的结论，假如不相似，请说明理由； (2)设，是否存在这样的值，使AEF与BFC相似?假如存在，证明你的结论并求出的值：假如不存在，说明理由 (2001年市中考题) 思路点拨 本例是一道存在性探索问题，对于(2)，假设存在，如此RtAEF与RtBFC中有一对锐角相等，怎样由边的比值得出角的关系?不妨从特殊角入手，逆推求出的值【例5】 如图，ABC和AlBlC1均为正三角形，BC和B1C1的中点均为D求证：AA1CC1 (2000年市竞赛题) 思路点拨 作出等边三角形最根本的辅助线，并延长AAl交CCl于E，寻找相似三角形，证明A=90
4、注 比例线段(或等积式的)证明是几何问题中的常见题型根本证法有： (1)从相似三角形入手； (2)利用平行截割定理 有时需根据要证明的式子，过恰当的点作平行线，在具体证明过程中，常常要作等线段代换、等比代抉或等积代换，以促使问题的转化将问题置于几何问题的背景中探索，要综合运用几何代数知识，多角度思考尝试，需要注意的是，假如题目没有指出具体的对应关系，结论常常具有不确定性，需要分类讨论学历训练 1如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个ABC，在网格上，画出一个与ABC相似且面积最大的A1BlC1，使它的三个顶点都落在小正方形的顶点上，如此A1BlC1的面积是 (2003年市中考
5、题) 第1题 第2题 第3题2如图，在ABC中，AB=15cm，AC=12cm，AD是BAC的外角平分线，DEAB交AC的延长线于点C，那么CE=cm (2001年市中考题)3如图，正方形ABCD的边长为2，AE=BE，MN=1，线段MN的两端点在CB、CD上滑动，当CM=时，AED与以M、N、C为顶点的三角形相似 (2002年市中考题)4如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AEEF，有如下结论：BAE=30；CE2=ABCF；CF=CD；ABEAEF其中正确结论的序号是 (2003年黄冈市中考题)5如图，在ABC中，BAC=90，D是BC中点，AEAD交CB延长线于点E
6、，如此结论正确的答案是( ) AAEDtACD BAEBACD CBAEACE DAECDAC(第17届省竞赛题) 第4题 第5题 第6题6如图，梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，对角线ACBD于P，假如，如此的值是 A B C D (2000年市中考题)7如图，将ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90，得ABF，连结EF交AB于H，如此如下结论错误的答案是( )AAEAF BEF：AF= CAF2=FHFE D (2001年省中考题)第3题 第7题 第8题 8如图，在等边ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且APD=60，BP=1，CD，如此ABC的边长为( )A3 B4
7、C5 D 6 (2003年省中考题)9：正方形的边长为1 (1)如图，可以算出一个正方形的对角线长为，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，并猜测出n个正方形并排拼成的矩形的对角线长 (2)根据图，求证：BCKBED (3)由图，在如下所给的三个结论中，选出一个正确的结论加以证明：BEC+BDE=45；BEC+BED=45；BEC+DFE=4510如图，在ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿AB以每秒4的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3的速度向A点运动，设运动的时间为x(2003年市中考题)(1)当x为何值时，PQBC?2当时，求的值；(3)AP
8、Q能否与CQB相似?假如能，求出AP的长；假如不能，请说明理由11如图，设P是等边ABC的一边BC上的任意一点，连结AP，它的垂直平分线交AB、AC于M、N两点，求证：BPPC=BM (省竞赛题)12平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD与CD的延长线相交于点E、F、G，假如BE=5，EF=2，如此FG的长是 (2000年“弘晟杯市竞赛题) 第12题 第13题 第14题13如图，ABCD是正方形，E、F是AB、BC的中点，连结CC交DB、DF于G、H，如此EG：GH：= (2002年市竞赛题)14如图，在梯形ABCD中，ABCD，ABCD，一直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，
9、交AD于F，BD于G，AC于H，BC于I，EF=FG=GH=HI=IJ，如此 (“祖冲之杯邀请赛试题)15一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比为，那么两底的比为( )A B C D (第14届省竞赛题) 16如图，假如PA=PB，APB=2ACB，AC与PB交于点D，且PB=4，PD=3，如此ADDC等于( )A6 B7 C 12 D16. (2001年TI杯全国初中数学竞赛试题) 第16题 第17题17如图，在ABC中，D是边AC上一点，下面4种情况中，ABDACB不一定成立的情况是( )AADBC=ABBD BAB2=ADAC CABD=ACB DABBC=ACBD(200
10、1年全国初中数学联赛题)18如图，正方形ABCD中，M为AD中点，以M为顶点作BMN=MBC，MN交CD于N，求证：DN=2NC19如图，梯形ABCD中，ABCD，ABCD，K、M分别是AD、BC上的点，DAM=CBK，求证：DMA=CKB (“祖冲之杯邀请赛试题)20如图，ABC中，ACB=2ABC，求证：AB2=AC2+ACBC21如图，AB是等腰直角三角形的斜边，假如点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将M翻折，使点C落在AB上，设其落点为点P (1)当点P是边AB的中点时，求证：； (2)当点P不是边AB的中点时，是否仍然成立?请证明你的结论 (2001年市宣武区中考题) 22如图，假如，求证：(2003年市选拔赛试题) /
