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1、参数分离虽巧，分类讨论不笨一遇到对于某个变量恒成立，求参数取值范围的问题，同学们总 是想到参数分离法，即将参数移到一边，变量移到另一边，然后应用 这样的结论：a f x或a f x 恒成立 a f x max或a f X min，转 化为求函数f x在某个区间的最值问题。这方法虽巧，它直接明了， 击中要害，但对于复杂的函数求最值，就遇到了困难，那我们就应该 转换思路，用另一种方法分类讨论法来解决，它也不笨。下面举 几道咼考题说明。例1、（2006年全国卷H）设函数f x x 1 ln x 1，若对所有 的x 0都有f x ax成立，求a的取值范围。分析：有大部分同学立刻想到分离参数,即转化为a
2、x 1 l n(x 1)x恒成立，应用函数的导数求最小值。但遇到极值点求不出陷入困境，解不下去。如果移项转化为f x ax 0恒成立，再应用导数，对a进 行讨论就简单了。解：令 F x f x:ax x 1 In(x 1) ax,则F xIn x11 a(1)若a1 贝S Q x 0 In x 111 In x1 1a 0恒成立，所以F x 在 0,上是增函数，即F xF 0f x ax f 00 f xax(2)若a1则由Fx 0 xea1 1;F x 01 xa 1e 1 ,故当x 0 时 F xF 0不恒成立即f xax不恒成立。综合（1）、（2）,所以a的取值范围是a 1例2、（200
3、7年全国卷i理）设函数（1） 求证f x 2 ; （2）若对所有的x 0都有fx ax，求a的取值范围分析：（1）略（2）由于x 0成立，当x 0时f x ax a ,x 然后对丄上求导，再求最值，这是最容易想到的方法，但解方x程有困难；如果移项对a进行讨论，就豁然开朗了。解：（2 ）令 Fx f x ax 则 Fx f x a ex e x aQ x 0, ex e x 2当a 2时f x 0即Fx在0, 上为增函数，故Fx F 0又F0 0所以f x ax恒成立；当a 2时F x在0,上有增有减，F x F 0不恒成立即f x ax不成立。综合以上可得：a的取值范围是a 2。例3、（ 20
4、10年新课标全国卷）设函数f x x ex 1 ax2（1）a -，求f x的单调区间；2（2）当x 0时f x 0，求a的取值范围。分析：（1 ）略（2） x 0时显然成立，当x 0时f x 0对右边求导，求极值但遇到了困难，如果应用分类讨论就迎刃而解了。解：当 x 0时 f x 0 ex 1 ax 则 Fx ex a， Q x 0 ex 1当a 1时F x 0即F x在0,又F 00即F x 0也即f x0，令 F x ex 1 ax上是增函数，则F x F 0 0恒成立。当 a 1 时由 Fx 0 x In a; F x 00 x Ina 也即 Fx 在0, 上有增有减，F x 0不恒成
5、立，f x 0也就不恒成立。 综上a的取值范围是a 1总结：在解决实际问题时，我们总喜欢找点技巧很快解决，但有 时事与愿违寸步难行，由此还是规劝同学要从最基本常用的方法 考虑，不能总怕烦，有时可能并不烦，还有意想不到的效果呢！ 下面给出两道供大家练习：1、已知函数f x ex ax 1（ a R且a为常数）若对所有的x 0都有f x f x，求a的取值范围。2、已知函数f x x2 2Inx，若f x 2bx厶在x 0,1内恒成x立，求b的取值范围。答案：1、a 12、1 b 1f（x） aln x b107.（全国I理21）已知函数x 1 x，曲线y f（x）在点（1,f（1）处的切线方程为
6、x 2y 30。（I）求a、b的值；解:(I)f (x)(x 1xInx)_b2x ,由于直线x 2y 310的斜率为2，且过点（1,1）,(x1)2f (1)1,b 1,1a1f(1)Jb故2即22解得a1 , b 1。kx，求k的取值范围。f(x)（n）如果当x 0，且x 1时,In xx 1f(x)业1 f(x)(n)由(i)知X 1 X，所以In x (xk-)x丄(2ln x 3二)1 x考虑函数h(x)2(k 1)(x1)2ln xx (x0)h(x)2(k 1)(x2 1) 2x(i)设k 0，由h(x)2 2k(x 1) (x 1)知，当1时,h(x)0。而 h(1)0，故(0
7、,1)时,h(x)10，可得 Ch(x) 0；(1，+)时,1-2-h( x) 0In x k从而当x0,且x 1时，f(x) - ( x 1 + x ) 0，即f ( x)In x x 1(ii )设0k0,故 h (x) 0,而h( 1) =0，故当 x ( 1，121 k )时，h (x) 0，可得1 x h (x) 0,而h (1) =0，故当 x12(1，+)时，h(x) 0，可得 1 xh (x) 1(I )讨论f(x)的单调性;(n )若当x寸，f(x)0恒成立，求a的取值范围。解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关 键是通过分析导函数，从
8、而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成 立条件得出不等式条件从而求出的范围。解：(I) f (x) x22(1 a)x 4a (x 2)(x2a)由a 1知，当x 2时，f (x)0,故f (x)在区间(，2)是增函数;当2 x 2a时，f (x)0，故f (x)在区间(2,2a)是减函数；当x 2a时，f (x)0,故f(x)在区间(2a，)是增函数。综上，当a 1时，f (x)在区间(，2)和(2a，)是增函数，在区间(2,2a)是减函数。(II )由(I)知,当x 0时，f (x)在 x2a或x0处取得最小值。f(2a)13f(2a)f (0)24a由假设知 (1a)(2a)24a 2a24a4 32a 4a24 a(I)当4a 3时，求f(x)的极值点;(n)若f(x)为R上的单调函数，求 a的取值范围。本题考查导数的运算， 极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系, 式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力求解二次不等解：对f (x)求导得f (x)2x1 ax ax e22 -(1 ax2)24 a -(I)当 3，若f (x)0,则 4X28x 30,解得 Xi32，x2a 1f(2a)0,f(0)0,a 1,4即a(a 3)(a6)0,解得 1a0,知2ax 2ax 10若对X （0,，都有f(x)1e，求k的取值范围。解：f/(
