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1、定义： 运动质点m对O点的角动量为L =Fx p = 2-4角动量守恒定律大小：L = rmV sin方向： rx（zniT）单位： kgm2/sL= rx mv| = mr2 co质点做曲线运动时，对某点具有角动量，质点做直线运动时是否也具有角动量呢?若质点作匀速直线运动，以0点为参考点，质点的角动量为：L = rx mv =亓 x mv = constLo = r | - |mv| sin = |r_ | 对不同的参考点有不同的角动量例1：质量为m=2kg的质点位于x=4m, y=8m处，速度为 v=3i-4j(SI)求:该质点相对于0点的角动量 = ?04 X 解：矢量运算法已知:位矢r
2、=4r + 8；速度y =3f-47L = rx mv (4z +8j)x (3/ 4 j)m=(一 16斤一24k)2 = -SOk(kgm2 /s)即：乙=80fcgm2 / $，方向沿-z轴(即向纸内)质点系的角动量惯性系中某给定参考点W1质点系的角动量T LiI= xmiVii角动量的时间变化率思考：Z=Kxwva黔=金疗加乔）=需5卩+产yxmv=O（两平行矢量的叉乘积为零）d（V）= mN=各质点对给定参考点的角动量的矢量和彳岸质点m对参考点o的 dZ 角动量的时间变化率dF= F x F 而7 xf是力矩的矢量表达:即力矩M = r x f 大小 M = FZ*sin& =Fd
3、方向垂直于久F所决定的平面，由右螺旋法 则定指向。得质点m对给定参考点o的角动量的时间变化率 =r x F =M 所受的合外力矩角动量的时间变化率 =p x f =M 所受的合外力矩 当戸工0时有两种情况，厉=OA) 戸=0B) 力的方向沿矢径的方向(sin 4 = 0)质点系角动量的时间变化率将 L = L)= 片X加i 12 i 刈*时间求导#=?#=?薪询+和令“同某给定参考点否二耳内Fi内= Sv/xm/tT/ + 兀 xm 五 i=S 0mi=三打x Fi内+打x尸外得 = M i内+ M 了外= M /外Fi外内力矩在求矢 量和时成对相消质点系的角动量dE _vw质点受外力的时间变
4、化率d?一严Mi外一M矩的矢量和说明：在质点系的情况下，合力矩是指作用于质点系的 各个另商力元的矣量和，而不是合力葩力锥注意：作用于系统的外力矢量和为零时，合力 矩不一定为零如图的一对力偶，其 矢量和为零，而合力 矩不为零。称为冲量矩对比:曲=乙一厶 J: Fdt = p2-px三、角动量定理市= M , dI=MdZdL = L Z/0kY角动量的增量这就是质点的角动量定理例2半径为R的光滑圆环置于竖直平面内一质量为加的小球穿在圆环上，并可在圆环上滑动小球开始 时静止于圆环上的点A （该点在通过环心O的水平面上）， 然后从A点开始下滑设小球与圆环间的摩擦略去不计. 求小球滑到点B时对环心O的
5、角动量和角速度.解法一小球受重力和 支持力作用，支持力的力矩 为零,重力矩垂直纸面向里M = mgRcos0 由质点的角动量定理 aa dLmgR cos 0 = dtmgR cos 0 dtdL = mgRcosOAt 考虑到 cdAO)d/, L = mIco得 LdL = m2gR cos/9d6 由题设条件积分上式 LdL = m2gR3cos仪 L = m 衣 co解法二 小球、环、地球作为系统，以B点所 在是水平线为重力势能零点，根据机械能守恒mv22L = m/2(2g sin 6)1/2L = mRyl2gRsin 0因V沿圆环切向，球对o 的矢径为R,所以其角动量 的方向指向
6、纸面内，L的 大小为：L = Rm vsin 90 = Rm v四、质点的角动量守恒定律根据质点的角动量定理黔=M ( M= F x f ) 若 M=F x f = 0 则黔=0即L =常矢量当质点加所受的合外力对某参考点0的力翌雨 为零时，质点对该点的角动量的时间变化率蚩为 零，即质点对该点的角动量T守恒。称为质点的角动量守定律例3：在一光滑水平面上，有一轻弹簧，一端固定,一端连接一质Am = 1 kg的滑块，如图所示.弹簧自然长度2 0.2 m,劲度系数A: =100 Nnri.设/ = 0 时，弹簧良度为厶，滑块速度v0 = 5 m-s-1,方向与弹簧垂直.以后某一时刻，弹簧长度I =0
7、.5 m求该时刻滑块速度V的大小和夹角8解：由角动量守恒和机械能守恒可得mZ20/0 = mvl sin 0=2mU?十寺 V _/o)，6 = arcsin-) = 30vl质点系的角动量定理质点系所受的冲量矩J； Mdt =di = L -Lo质点系的角动量增量质点系的角动量守恒崔律由豁卡瓦外二立；J：融=圧辽=万-耳 若M = 0 则L=L0或 Z恒矢量当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。例4：水星绕太阳运行轨道的近日点到太阳的距离为rx - 4.59 x iQ1 km,远日点到太阳的距离为4 =6.98xl07求:水星越过近日点和远日点的速率勺和巾。解：分别以M和m表示太阳和水
8、星的质量。由于近日点和远日点处水星的速度方向与它对太阳的矢径方 向垂直，所以它对太阳的角动量分 别为mrx和加色叫o由角动量守恒得:mrx V, = mrv2 = (1)由机械能守恒定律得：丄加彳空J丄吨_GMm=2r 2- r2I/. V, = 2GM -L 斤(人+1=2x6.67xl0,xl.99xlO3Ox4.59x(4.59+6.98)xl0_= 5.91xl04(n?/s)4.59V2 = V191x2x = 3.88x105、冈U体的走车由车专动刚体的转动惯量及其计算转动惯量/是刚体转动惯性的量度刚体的转动惯量等于刚体中各质点的质量乘以它们各自到转轴距离的平方的总和Z=Z mi与
9、刚体的质量、形状、大小 及质量对转轴的分布情况有关质量连续分布的刚体用积分求Z I=m r2dmr为刚体上的质元伽到转轴的距离I的单位为kg -m2转动慢量的计鑰举例可视为分立质点结构的刚体转轴若连接两小球（视为质点）的 轻细硬杆的质量可以忽略，则I=E mi 八2=mi A2 + m2 Y2I =5 nh F=加 i（/iSin60）22+ zn2（/2sin60）=075（加了+加2侈）质量连续分布的刚体m1dmI0uL2r 1 U-dr匀直细杆对中垂轴的Z匀直细杆对端垂轴的7mdmI=ir2dm =r2jrdr1 = 1广伽=2和2罟廿二罟討/二吉必匀质圆环对直径的7环质量线密度为兄=m
10、2ttRr = RcosO在环上取质兀dm /jdl ZRdddm对直径的垂直距离r = R cos 0所以,III环对直径的转动惯量Rd0 = -mR12A匀质薄圆盘对心垂轴的2/=fr2dm =Jq r2-取半径为r微宽为dr 的窄环带的质量为质元d加dJTl =诒务27trd?2曲R22曲R271QrI r.m,Lofc质心uJLJ新轴质心轴 Iz Ic平行轴定理对质心轴的转动惯量2c 对新轴的转动惯量Iof 新轴对心轴的平移量例如:mdm0Y k udrI=mL2nmdmYi.rT 1drI = y/nz2计算细棒圆盘系统绕端点o的转动惯量。解：应用平行轴定理：1。 /加 +，盘O/棒
11、0 =-汕go =【c + M (L + Rf =护，+ M (L+ Rf1()=丄血 +Lmr2 +M(L + Rf32冲量矩角动量的增量冈（J体相对定轴的角动量冲量矩角动量的增量5=叫（0刚体对转轴的转动惯量刚体相对定轴的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加任一质元（视为质点）的质量加iL i = niiVi =山片（0全部质元的总角动量L 厶= 加/。血冲量矩角动量的增量冲量矩角动量的增量所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动定轴转动刚体的角动量 大 1、右 rjL = ico 三遍沿轴同方向冲量矩角动量的增量冲量矩角动量的增量刚体的角动量定理回忆质点的角动量定理St0Mdt =陰
12、dT = L -瓦（积分形式）冈U体的角动量定理（积分形式）卜d/=k dL =厶2Ly=1G）2 _IcOi冲量矩角动量的增量刚体的角动量定理dLdT刚体所受合外力矩瓦卜 =0即L=IG)=常矢量刚体的角动量守恒定律当刚体所受的合外力矩 莎等于零时,刚体的角动量10)保持不变。已矢n a、b两轮共轴 A以3a作惯性转动g两轮啮合后 一起作惯性转动的角速度(OabIa IbG)a 静(Dab以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系 统受合外力矩为零，角动量守恒。初态角动m IaG)a + Q = ()COab末态角动量 得 CDab = TaOa/(Ia+Jb)切质量很小长度为/的均匀细杆，可绕过 其中心O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转 动.当细杆静止于水平位置时，有一只小虫 以速率垂直落在距点O为4处，并背离点 O向细杆的端点A爬行.设小虫与细杆的质量均为加.问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?冈U彳本白勺车专动走彳聿质点或刚体平动的运动定律合外力惯性质量合加速度若刚体作定轴转动，
