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1、06-07学年第三学期厦门大学数学科学学院高等代数期末试卷一 选择题（8题X 4分）11设A是n阶对称正定阵，则 A+A 2ln是。A.正定阵B.半正定阵C.负定阵D.半负定阵2.设A是n阶非零实对称阵，则 A是半正定阵的充要条件是。A. A的所有k阶子式非负（1 n ） B.存在n阶非零矩阵B，使得A = BBC.对元素全不为零的向量 x，总有xAx _ 0 D.存在非零向量x，使得x Ax _ 03设a =（ai,a2）, B =（b,b2）是二维行空间R2中的任意两个向量，则R2对以为规定的内积构成欧 氏空间。A. （：,：）= aib2 a2biD. （：,：）= a1b1a2b214
2、设V1, V2是欧氏空间V的子空间，V* 分别是V1, V2的正交补空间，则下列叙述中错误的是a.（V1 v2）-=w-nV2-C.若 V=V 1 二 V2，贝y V 2 二 V1-5设代B是n阶矩阵，则下列叙述中错误的是A.若A,B是正交阵，则 AB也是正交阵B. （V川 V2）-= V - V2-D.若 V 2 V1，则 V - V2_。B.若A,B是正定阵，则 A B也是正定阵C.若A,B是正交阵，贝U BAB也是正交阵D.若A,B是正定阵，则 B_1AB也是正定阵#/76设 代B是n阶实对称阵，则下列说法正确的有个。代B的特征值相同的充要条件是A, B相似 代B的特征值相同的充要条件是
3、代B正交相似代B的特征值相同的充要条件是A,B合同 代B的特征值相同的充要条件是代B相抵A. 1B. 2C. 3D. 47设 代B是n阶实对称阵，则 A,B满足时，A, B必相似。A. mA（）二mB（），其中mA（）皿（）分别为A, B的极小多项式B. fA（ ） =.fB（-），其中fA（）= fB（）分别为A, B的特征多项式C. r（A）二r（B），且A的正惯性指数等于 B的正惯性指数D. |AH B|，且A的正惯性指数等于 B的正惯性指数8.设是n维欧氏空间V上的自伴随算子，则下列说法正确的有个。 在V的任意一组基下的表示矩阵是实对称阵 在V的任意一组标准正交基下的表示矩阵是实对称阵
4、 在V的某组基下的表示矩阵是对角阵 在V的某组标准正交基下的表示矩阵是对角阵A. 1B. 2C. 3D. 4填空题（8题X 4分）1设A是实对称阵，且人=0,贝9 A=。2. 写出实对称阵 A是正定的三个充要条件 。3. 设是欧氏空间V上的两个向量，则|（）|P |，且等号成立的充要条件是4.用 Gram-Schmit 正交化方法求由！ = (1,1,1,1), 2 = (-1,4,4,-1), 3 = (4, -2,-2,0)所张成的子空间的一组标准正交基（取标准内积） 5.设：2/3是三维欧氏空间 V的一组基，其度量矩阵为5G= -10-1 020 ，向量B，则03?6设V!,V2是n维欧
5、氏空间 V的子空间，且V2，则dim y+dim V右n （选择 ,兰,=,兰）。7设 代B是n阶正交阵，若|A| +|B|=0，则| A + B|=8设A是2阶正交阵，贝U A必形如或。三（8分）设三阶实对称阵 A的特征值为1 （二重）和-10、-1是对应于1的两个特征向量。1）求1对应的所有特征向量;2）求矩阵A。四（8分）设A是n阶实对称阵，其特征值为- 2 n证明：对任意的 n维列向量：，均成立五（10分）设；仆；2,，；n为n维欧氏空间 V的一组基。证明：这组基础是V的标准正交基的充要条件是对V中任一向量：，都有：十，；1）；1 （，；2）；2.（，；n） ；n。六（10分）设A是n
6、阶实矩阵。证明：A的特征值全为实数的充要条件是存在正交阵Q ,使得QAQ为上三角阵。附加题：（不计入总分）设代B是n阶实对称阵，B正定，A-B半正定。证明:1）若| A - B| = 0，则，-1 ；2）|A|_|B|。06-07学年第三学期厦门大学数学科学学院高等代数期末试卷2#/71. BBCCDBBC1.02. p二n :q =0,r二n :-x=0,xAx 0 : 可逆矩阵P，使得PAPIn :A的特征值全大于0:A的顺序主子式全大于 03. 兰；。，p线性相关即三k匚使得N =kP或P =041 1 1)f 1 1 11)(42忑 。 一，一，一，一I,，,I, ,0,0,(2 22
7、2 八 2222 丿(22 y5見56乞0COS日-sin cos 日7.si n 日cos日丿,.sin 日_cos日丿X、三解：1)设巴3 =x2是-1所对应的特征向量，则由实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正g交，可得(1,3)= x1= 0(2, 3)= - X2怡=0心解得上方程的基础解系为1，所以-1的所有特征向量为k1，其中kL且kO。J丿J丿2 (法一)将1, 2,；单位化后得:fr10_V2盪22 2丿、兀丿广1、0 ,一*1 0 0 记 Q=(,n3 )，则 QAQ=010 ，故0 0 -b1 0 01 0 010 0、(1 0 0 1 0 0 A =Q0 1 00卫罷
8、0 1 00卫忑0 0-12 22 2e 0丿0至渥0 0 -1 丿0返返0 -1 0 丿1 2 2丿 2 2 )Z1 0 0、（法二）由法一有Q AQ = 010 ，即Q，使得:对任意：n 1，令二Q4：=0 -b10 0z0 0 0xq 0 0xA=Q0 1 0QQIQ-Q0 0 0QT -2讥=0 0-10 0 -b1 0 20 -1四证明：（法一）因为A是实对称矩阵，所以存在正交阵:AQAQ 一i =1 同理可证：41 ： M ? :。故命题成立。（法二）（07数学 桑雨聪 王依晨）因为A是实对称矩阵，l2,|i（,n是A的特征值，所以A-ln也是实对称矩阵，且二-5（1 乞n）是其所
9、有特征值。由i2-m-n可知止-n - 0（1 - i - n）。故 A n 1 n 是半负定矩阵，从而 _|_ A -，n 1 n- 0，即:-A： 浪。同理可证，:打。命题得证。五证明：（必要性）记：=（二，；i） ；i-（二，；2）；2.（一：时；n） ；n。因为；1,；2,1 I （ ,； n 是 V的一组标准正交基，所以（；i，；j）二 7 仁i, j 岂 n。故 C ,；i）= V c , ；j）（ ；j, ；i） - C ,；i）（ ；i,；i） = C, ；i）仁 i 乞 n。j鼻从而由；i,；2,，；n 为 V 的一组基可知:-=匕=（，；J；1* （- ,；2）；2. （-
10、 ,；n）； n。命题得证。（充分性）（法一）对任意i =1,2川|, n,取a =勺，则有斷=（哥眉） +（勺，吧） + （,牡n）n。简单整理得送（码，Sj）巧+声）-1）轉=0。j#注意到；1, ；2,., ；n是V的一组基，必线性无关，故上式中；j（j=1,2,., n）的系数必为 0,即（:i, ；j） -.j 1 i, n。这就证明了 ；1, ；2,., ；n是V的一组标准正交基。（法二）（07数学 严撼 赵筱倩）依题意，得用）=0,%）（列，坷）十0,名2）（%,可）+川十S名n）Gn,%）（a泸2）=（卩坷）但i泸2）+ 02）2,）州 11+（*云）（,%）ill I炉,%）
11、 = （d ,引（坷，甯）+（ , （% , %） +川 + 匕，）（%, %）,坷厂记4 UAAgQn滿。则B，即0,名n）（In-A）0（*）由的任意性以及1, 2川，；n是V的一组基可知，（* ）式对任意的 1都成立。故In = A，即（；i, ；j）二飞1i,j岂n。所以；i, ；2,，；n是V的一组标准正交基。06-07学年第三学期厦门大学数学科学学院高等代数期末试卷六 证明：（充分性）存在正交阵 Q，使得Q - AQ为上三角阵，对角兀全是实数。而上三角阵的特 征值恰为其对角元，所以 QAQ的特征值全为实数。又因为 A与QAQ相似，相似矩阵有相同的特 征值，所以A的特征值全为实数。（
12、必要性）对 A的阶数作归纳。当 n T时，取Q = h，结论成立。设结论对 n 阶矩阵成立。当A的阶数为n时，设是A的一个实特征值，:是其对应的特征向量。 令；1LLn。将A看做且；i是单位向量，故可将 1扩为n维列向量标准内积空间的一组标准正交基这个标准内积空间上的线性变换，则令 P = （ ；1, ；2,，；n），则 P 是正交阵，且 P，AP = P AP =% *0 A，其中Ai是n-1阶实矩阵。设2, 3,川,是A的特征值，则 1, -2, 31, n是PAP的特征值，故也为A的特征值。从而12,3l（,n全为实数。由归纳假设，存在n-1阶正交阵T使得T AT =Q =P，则Q是n阶正交阵，且Q JAQ -TJPAP2#/7命题得证。
