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1、初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第18章 整数几何试题 新人教版18.1.1已知的两条高长分别是5、15，第三条高的长数，求这条高之长的所有可能值解析由面积知，三条高的倒数可组成三角形三边，这是它们的全部条件设第三条高为，则解得，可取4、5、6、7这四个值18.1.2已知的三边长分别为，且边上的高的长为，其中为正整数，且，问：满足上述条件的三角形有几个？解析注意为之最长边，故，设，则，而可正可负由，及，得，由勾股定理，知，展开得，由及为正整数，知，2，12，这样的三角形有12个18.1.3已知一个直角三角形的三条边均为正整数，其中一条直角边不超过20，其外接圆半径与内切圆半径之比为，求
2、此三角形周长的最大值解析设该直角三角形直角边长为、，斜边为，则外接圆半径，内切圆半径，不妨设由条件知，平方，得，即，于是，或，周长为，为正整数的最大值为6，此时各边为18、24、30，周长最大值为18.1.4为不等边三角形，其他两边长均为整数，求的面积解析设，则由余弦定理，有由条件，不妨设，则为之最小边，只能取值1、2、3、4、5、6，分别代入，发现当或5时，其余情形均无整数解于是或18.1.5一点与半径为15的圆的圆心距离是9，求经过且长为整数的弦的条数解析如图，半径为，过的弦长为整数，为直径，则，因此又，故这样的弦共有条，其中与垂直的弦及各一条，其余的弦每种长度有两条（关于对称）18.1.
3、6在直角三角形中，各边长都是整数，为边上的高，为垂足，且（奇素数），求的值（用表示）解析由知，故设（为正整数），则，又由勾股定理，知，故设，代入得，易知只能有，解得，于是18.1.7设正三角形，、分别在、上，两端延长，交外接圆于、，若、长均为正整数，求的最小值解析如图， 易知也是整数设，则，于是由相交弦定理，得，设，则，由于，故，要使达到最小，得取，于是由于，知当，时取到最小值3，此时18.1.8已知凸四边形的四边长是两两不相等的整数，对边乘积之和等于四边形面积的两倍，且，求该四边形面积、对角线长度解析不妨设，与交于，则，于是由托勒密定理，知、必共圆，且满足又由已知条件，经搜索知250表为平方
4、和只有两组：和由对称性，不妨设，则由余弦定理，因，得，得，于是18.1.9是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的？证明你的结论解析存在满足条件的三角形当的三边长分别为，时，如图，当时，延长至点，使连结，为等腰三角形因为为的一个外角，所以由已知，所以所以为等腰三角形又为与的一个公共角，有，于是，即，所以而，所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形评注满足条件的三角形是唯一的若，可得有如下三种情形：（）当时，设，（为大于1的正整数），代入，得，解得，有，；（）当时，设，（为大于1的正整数），代入，得解得，有，此时不能构成三角形；（）当时，设，（为大于1的正
5、整数），代入，得，即，此方程无整数解所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4、5、6构成的三角形满足条件18.1.10三边长为连续整数、周长不大于100、且面积是有理数的三角形共有多少个？解析设三角形三边依次为、，则，于是是平方数，令，得，则，又不可能是奇数，否则，得，则，又不可能是奇数，否则，将，4，6，8，10，12，14，16，18代入，发现仅当，8时满足要求因此这样的三角形共有两个，三边长依次为3、4、5与13、14、1518.1.11某直角三角形边长均为整数，一直角边比斜边小1575，求其周长的最小值解析设直角三角形直角
6、边长、，斜边为，则，由于，设，则，设，则，于是的最小值为17，此时，此时的最小周长为380818.1.12已知，是角平分线，也是整数，求所有可取的值解析如图，作，在上，则易知又，故，故又当时，不难通过构造出，故所有可取的值为1，2，1718.1.13面积为的正方形内接于面积为1的正三角形，其中、是整数，且不能被任何质娄的平方整除，求的值解析设正方形的边长为，正三角形的边长为，则，由，可得解得于是由题意得，所以17.1.14如图，是的高，四边形是的内接正方形，若（即两位数），且、恰为从小到大的4个连续正整数，求的所有可能值解析易知，于是有，或，移项，得，或，解得或5于是有两解：易知这两组数据都符
7、合要求，故或18.1.15已知中，是锐角从顶点向边或其延长线作垂线，垂足为；从顶点向边或其延长线作垂线，垂足为当和均为正整数时，是什么三角形？并证明你的结论解析设，、均为正整数，则，所以，2，3（1）当时，此时所以垂直平分，垂直平分，于是是等边三角形（2）当时，此时，或，所以点与点重合，或点与点重合故，或，于是是等腰直角三角形（3）时，此时，或，于是垂直平分，或垂直平分故，或，于是是顶角为的等腰三角形18.1.6某直角三角形两直角边长均为整数，周长是面积的整数倍（就数字上讲），问问这样的直角三角形有多少个？解析设直角边分别为、，则斜边，由条件知它是有理数，故必定是整数设，为正整数，于是由于也是
8、正整数，故它只能为1、2或4，记作由，得，时无解；时，有，=3，4；时，=5，12或6，8，所以这样的直角三角形共有3个18.1.17在等腰中，已知，这里为大于1的自然数，点、依次在、上，且，与相交于，求使为有理数的最小自然数解析如图，连结，则，由于四边形为等腰梯形，则由托勒密定理（或过、作垂线亦可），又，于是，由于与互质，由题设知其必须均为平方数，适合，这是满足要求的最小自然数18.1.18对于某些正整数来说，只有一组解（不计顺序），这里，、是正整数且可构成三角形的三边长，这样的共有多少个？解析显然，当（素数）时无解；当或时只有一组解（1，）或（1，1，1）；当（、为不同素数）时无解；当（为
9、大于3的素数）时也无解剩下的数为8，12，16，18，24，27，30，32，36，40，42，45，48，50，54，56，60，63，64，66，70，72，75，78，80，81，84，88，90，96，98，99，100易验证，无解的有：30，42，54，56，63，66，70，78，88，99；唯一解的有：8，12，16，18，24，27，32，40，45，48，50，75，80，81，84，90，96，98；不止一组解的有：36，60，64，72，100注意：判定无解的主要依据是，时无解，困为因此，有解的共有23个18.1.19面积为整数的直角三角形周长为正整数，求的最小值，并求此
10、时这个直角三角形的两条直角边的可取值（如不止一组解，只需举了一组即可）解析设该直角三角形的直角三角形周长分别为、，则，故下令，如有解，则可，平方得取，得因此、为方程的根，解得、为与，故的最小值是518.1.20若的三边长、均为整数，且，求内切圆半径解析不妨设，于是又，故，得于是只可能为7或10时，只可能，内切圆半径时，没有满足要求的解18.1.21证明：若、是一组勾股数，则存在正整数、，使得，而，；或，解析，设（，），则，易知、两两互质；与不可能同偶，否则，；与也不会同奇，否则，矛盾于是与必一奇一偶，不妨设奇而偶，于是为奇数从而，与必互质，否则有一奇素数，得，故（，），与（，）=1矛盾于是可设
11、，（，）=1，且、均为奇数，解得，令，即得结论18.1.22如图，、在的边、上，的延长线与的延长线交于，求证：、的长度不可能是18的排列解析 如果，则，得，矛盾，故，同理、都不等于1因此1只可能等于或之长，不失对称性，设，则，作，在上，四边形乃一等腰梯形，于是为正整数又，故，但为等腰三角形的底角，为的最大内角，矛盾，因此结论证毕18.1.23已知梯形中，、分别在、上，如果、均为正整数，称该梯形为“整数梯形”现对于正整数，有正整数，+=，且、为一“整数梯形”的上、下底，、为另一“整数梯形”的上、下底，求的最小值解析 如图，由,得，得，于是问题变为求最小的，使与均为平方数、不可能都为4，故至少有一
12、组9，显然另一组也不可能为4，于是，9如果或，则若或=9或16，则或于是的最小值为10，=2，=8，=918.1.24求证：存在无穷多个每边及对角线长均为不同整数的、两两不相似的凸四边形解析 如图，作圆内接四边形，与垂直于，设为一整数，则，由此知，而由，知，同时乘以系数，得，易知上述6个多项式无二者恒等，于是任两者相等只能得有限个，但正整数有无限个，因此有无限个，使6个多项式两两不等，又当时，因此有无限个这样的凸四边形两两不相似18.1.25已知、为圆的切线，割线过，与圆交于、，与交于，若、均为正整数，求的最小值解析 如图，易知有(调和点列)设，则，从而设，（，），则（，）=1，易见（，）=1
13、，则、一奇一偶于是由（，）=1，得，且由为整数知，、为奇数因为，于是的最小值为，当1，2，3，4时，无解(即不是整数)，故，又，于是15，当5，4，36时取到若（，）=2，此时、同奇，的最小值为，此时，当，3时，无使为整数，于是，又，所以，当，时取到10综上，的最小值是1018.1.26一圆内接四边形的四边长及对角线长都是整数，求这类四边形中周长最小者解析 显然长与宽为4、3的矩形满足要求，其周长=14若等腰梯形上、下底分别为3、4，腰为2，则由托勒密定理，对角线长为4，满足要求，此时周长为11故最小周长11显然对圆内接凸四边形，无边长为1否则若设，得，同理，于是、均在中垂线上，构不成凸四边形
14、因此最小周长24=8四边均为2，得正方形，对角线为，不合要求；三边为2，另一边为3，得等腰梯形，对角线长为，亦不合要求故最小周长10当周长为10时，显然至少有两边为2若是2、2、2、4，则对角线为，不合；于是只能为2、2、3、3，四边形为矩形或筝形，总有对角线长为，亦不合故最小周长为1118.1.27在中，是高，已知的三边长都是整数，且，求与的周长之比解析 设的三边长分别为、由题设知，故于是设，得由勾股定理得是整数，所以是完全平方数，设为，则，由于，所以解得于是，因为，所以它们的周长比等于它们的相似比，即18.1.28已知锐角三角形中，是高，矩形的面积是的13，其顶点、在上，、分别在、上，且、及矩形的周长均为有理数，求的最小
