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1、全等三角形、轴对称能力提高练习1.如图，P是等边ABC内的一点,连接PA、PB、PC.以PB为边作等边BPM，连接CM.（1）观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；（2）若APC=100，PMC为直角三角形，求APB的度数AMPCB2.如图，已知在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作CEAB于E，并且AE=，求ABC+ADC的度数。AEDCB3.点P在AOB内，点M，N分别是点P关于OA，OB的对称点，M，N的连线交OA于点E，交OB于点F，若PEF的周长为20cm，求线段MN的长。拓展：（1）若AOB=45，连接OM，ON判断MON的形状，并说明理由。 （2）已知点P在AO
2、B内，在OA,OB上分别取点E,F，使PEF周长最小，请画出图形，并写出过程。FEMNPOBA4.已知如图，等腰RtABC中，BAC=90，点D是BC边的中点，且BE=AF.求证：DEDFFEDACB5.如图，ABC中，ABC=90，AB=CB，AE平分BAC，过点C作CDAD于点D，求证：CD=AEAEDCB6.以ABC的两边AB,AC向外作等边三角形ABE,等边三角形ACD，连接BD,CE,交于点O.（1）试写出图中和BD相等的一条线段，并说明理由。（2）BD和CE的夹角大小与ABC的形状有关吗？说明理由。CPEODABGECBAF7.如图所示，ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在A
3、C延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G，求证：EG=FG8.已知ABC中，AB=AC，且过ABC的某一顶点的直线可将ABC分成两个等腰三角形，试求ABC各内角的度数。9.如图，ABC中BD是AC边上的中线，BDBC于点B，且ABC=120.CDBA求证：AB=2BC.10.如图所示，ABC是等边三角形，P是三角形外一点，且ABP+ACP=180，求证：PB+PC=PAPBCAPADEFBC11.已知P是等边ABC内任意一点，过点P分别向三边作垂线，垂足分别是D、E、F，试证明PD+PE+PF是不变的值。12.如图所示，等边ABC，D、E分别在AC、AB的延长线上，且CD=AE，ADE
4、BC求证：DB=DE13.如图，在ABC中，AD平分BAC，ABC=2C，求证：AB+BD=AC.21DCBAFEDCBA图3EDCBA图2DCBEA图114.在图1至图3中，ABC是等边三角形，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC.观察思考：当点E为AB的中点时，如图1，线段AE与DB的大小关系是：AE DB(填“”，“”或“=”）；拓展延伸：当点E不是AB的中点时，如图2，猜想线段AE与DB的大小关系是：AE DB(填“”，“”或“=”），并说明理由（提示：在图2中，过点E作EFBC角AC于点F，得到图3）。15.如图1，在ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD
5、，以AD为一边且在AD右侧作正方形ADEF.解答下列问题：（1） 如果AB=AC，BAC=90当点D在线段BC上时，（与点B不重合），如图2，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 当点D在线段BC的延长线上时，如图3，中的结论是否仍然成立，请说明理由。CBFDEA（2）如图4，如果ABAC，BAC90，点D在线段BC上运动，其余条件不变，猜想当BCA等于多少度时，CFBC，请说明理由。CBFDEA图2图1FEDCBAFEDCBA图4图316.三角形ABC中，BD和CE是三角形的高，延长BD至点F，使BF=AC，在EC上取点P，使CP=AB，作FM垂直于BC，PN垂直于BC。求证PN+F
6、M=BCFNMPEDCBAPCBA17.如图，等腰直角ABC中，AC=BC，ACB=90，P为ABC内部一点，满足PB=PC，AP=AC，则BCP=( )18. 如图，ABC中，AB=AC，角BAC=90度，D为BC上一点，过D作DE垂直AD，且DE=AD，连接BE，求DBE 的度数。ADECB19. 如图，ABC中，BAC=90，AB=AC，点D是BC上一点，DEAD且DE=AD，求证：CEACACEDB20. ABC为等边三角形,BDA=ADC=60，试说明AD=BD+DCDCABNMEBDCA21.在等边三角形ABC中的AC延长线上取一点E,以CE为边做等边三角形CDE，使它与三角形AB
7、C位于直线AE的同一侧，点M为线段AD的中点，点N为线段BE的中点，求证：三角形CNM为等边三角形。22.正方形ABCD，E为BC上一点，AEF为直角，CF平分DCG。(1)如图（1），当点E在线段BC上时，求证：AE=EF(2)如图（2），当点E在BC的延长线上时，试判断AE=EF是否依然成立，并说明理由。DCBAFEG图(1)DCBAFEG图(2)23. 如图，ABC，CDE是边等三角形，C为线段AE上一不动点OAMNDECBCNABAD=BEAOE=120度CM=CNOC平分AOEOB+OC=OADM=CN其中正确的有AMPCB图（1）参考答案：1.（1）AP=CM证明 AB=BC ，A
8、BP=CBM ，BP=BMABPCBM SAS AP=CMAMPCB图（2）（2） APC=100 BAP+BCP=BCP+BCM=PCM=100-60=40若CPM=90，如图（1）则APB=360-BPM-CPM-APC=360-60-90-100=110若CMP=90，如图（2）则APB=360-BPM-CPM-APC=360-60-50-100=150 2. 过点C作CFAD，交AD的延长线于点FAC平分BAD ，CEAB AEC=AFC=90， EAC=FAC, CE=CFAFEDCBAECAFC AE=AF AE=(AB+AD) 2AE=AB+ADAB-AE =AE-AD AB-A
9、E =AF-AD，即EB =FD在EBC和FDC中：CE=CF ，BEC=DFC=90 ， EB =FDEBCFDC B=FDC，即ABC=FDCFEMNPOBAFDC+ADC=180 ABC+ADC=1803. M、N分别是点P关于OA、OB的对称点EP=EM ，FP=FN PEF的周长=EP+EF+FP =EM+EF+FN，即PEF的周长=线段MNPEF的周长=20cm MN=20cm(1)连接OM，OP，ONM、N分别是点P关于OA，OB的对称点 OM=OP ，ON=OP ，MOA=POA ,NOB=POBOM=ONMON=MOA+POA +NOB+POB=2(POA +POB)=2AO
10、BAOB=45， MON=90 ，MON是等腰直角三角形（2）分别作点P关于OA ，OB的对称点M、 N ，连接MN，分别交OA，OB于点E、F连接PE、PF，PEF即为所求。4.提示：连接AD，证ADFBDE5.提示：延长AB与CD的延长线交于点F，证ABECBF6.提示：（1）EC=BD (2)BOP=BAE=60，故BOP的大小与ABC形状无关。7.提示：过点E作EMAC，交BC于点M，证MEGCFG8.（1）当在底边BC边上取点时，分两种情况：45454545AECB图（1）xFxx2x2xACB图（2）如图（1），在BC上取点E，使AE=BE=CE时，容易计算得B=C=45 ，BAC
11、=90；如图（2），在BC上取点F，使AB=FB，AF=CF，设B=C= x ，则FAC=x，BFA=BAF=2x ，所以有x+x+x+2x=180， x=36 ，2x=72，3x=108，B=C=36 ，BAC=108 ；3x2x2xxxGCBA图（4）（2）当在腰上取点时，也有两种情况：x2x2xxxDCBA图（3） 如图（3），在AC上取点D，使BD=AD=BC，设A=x，则ABD=x ，所以BDC=2x，C=2x，DBC=x，所以有x+2x+2x=180，x=36，2x=72.所以A=36，ABC=ACB=72.如图（4），在AC上取点G，使AG=BG，CG=CB，设A=x，则ABG=x，BGC=CBG=2x，所以，ABC=ACB=3x，所以x+3x+3x=180，x=，3x=.所以A=，ABC=ACB=综上所述，ABC各内角度数分别为45，45，90或36，36，108或36，72，72或，CDEBA9.如图，延长BD到点E，使DE=DB，连接AE. ADECDB，所以AE=BC，AED=90，由ABC=120，BDBC，所以ABD=30，所以AB=2AE=2BC10.延长PC到点D，使CD=BP，连接AD.
