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1、基本不等式的应用 教学目的：1进一步掌握均值不等式定理；2会应用此定理求某些函数的最值；3能够解决一些简单的实际问题 教学重点：均值不等式定理的应用教学难点：解题中的转化技巧课时安排：3课时教学过程:一、复习引入：1基本不等式：如果2基本不等式：如果a,b是正数，那么3. 我们称的算术平均数，称的几何平均数.3. 常用不等式设均为正数，（当且仅当ab时取“”号）二、新课探究引例 已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy是定值P，那么当xy时，和xy有最小值2； （2）如果和xy是定值S，那么当xy时，积xy有最大值S2证明：因为x，y都是正数，所以 （1）积xy为定值P时，有 xy2上式当x
2、y时，取“”号，因此，当xy时，和xy有最小值2（2）和xy为定值S时，有 xy S 2上式当x=y时取“”号，因此，当x=y时，积xy有最大值S 2说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：）函数式中各项必须都是正数;）函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；）等号成立条件必须存在。 利用均值不等式求最值条件为：一正、二定、三相等例1：求函数的yx最小值(如果改变x的范围呢？) 思考: 当x0呢？呢？介绍：函数yx的图象及单调区间例2. 已知函数y = (3x2)（13x）（1）当x时，求函数的最大值；（2）当0x时，求函数的最大、最小值。例3. 设，且，求的最大值；练
3、习：1. 已知x + y = 2，求 2 x2 y的最小值。2. 若且，求的最小值；3. 求下列函数的最大值（1）y2x（12x）（0x） （2）y2x（13x）（0x）4设0x2，求函数f(x)=的最大值，并求出相应的x值例4.已知x2y1，求 的最小值提示: 代一法练习. 已知a，b为正实数，且的最小值例5. 求下列函数的最值1. yx的最小值2. yx（x1）的最小值3.的最小值4. 的最小值5. y=x2(x0)的最小值6. (x0)的最大值7. 的最小值练习: 1. 求函数 y = 的值域2. 求函数y = 的值域。 解 : 当x10时，令t = 则问题变为：y = ，t（，2121
4、，+） y，0）（0，又x1 = 0时，y = 0 即y ，三课堂小结一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。 第三课时 基本不等式的实际应用一练习反馈请同学们举例说明基本不等式能求哪些类型的最值问题二例题分析例1、如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面课外利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，（1）现有可围36长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时？可使每间虎笼面积最大?(2)若使每间虎笼面积为24，则每间虎笼的长宽给设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？例2： 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800
5、m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得当因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本
6、章引例中的问题用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案练习： 一段长为 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?分析：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程中要(1)先构造定值，(2)建立函数关系式，(3)验证“”号成立，(4)确定正确答案解法一：设矩形菜园的宽为xm，则长为（2x）m，其中0x，其面积Sx（2x）2x（
7、2x）当且仅当2x2x，即x时菜园面积最大，即菜园长m，宽为 m时菜园面积最大为 m2解法二：设矩形的长为x m，则宽为m，面积S（m2）当且仅当xx，即x（m）时，矩形的面积最大也就是菜园的长为m，宽为m时，菜园的面积最大，最大面积为m2例3如图，在ABC中，C90，AC3，BC4，一条直线分ABC的面积为相等的两部分，且夹在AB与BC之间的线段最短，求此线段长分析：本题的关键在于恰当地选取变量表示夹在AB与BC之间的线段EF，同时考虑到题设中的等量关系，即SBFSAB，因此，所选变量还应便于求两个三角形的面积，于是考虑设BEx，BFy解：设BEx，BFy(0x4，0y），则SBFBEBFsinBxysinB又SABBCAC346依题意可知：SBEFSABC xysinB63sinB，xy10 又cosB在BEF中，由余弦定理得：EF2BE2BF22BEBFcosBx2y22xyx2y2162xy164，当且仅当xy时，等号成立故此时线段EF的长为2评述：本题从求线段的长度问题转化为求函数的最值问题而求函数最值是不等式的重要应用，当解析式比较复杂时，利用三角函数的有关知识，巧妙地寻求等量关系，合理变形，是我们常用的一惯手法从而使我们注意到：数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学思想方法
