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1、6.2 信号采样与保持 采样器与保持器是离散系统的两个基本环节，为了定量研究离散系统，必须用数学方法对信号的采样过程和保持过程加以描述。6.2.1 信号采样1. 采样信号的数学表示一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列的幅值调制器，即理想采样器的输出信号，是连续输入信号调制在载波上的结果，如图6-6所示。图6-6 信号的采样用数学表达式描述上述调制过程，则有 （6-1）理想单位脉冲序列可以表示为 (6-2)其中是出现在时刻，强度为1的单位脉冲，故式(6-1)可以写为由于的数值仅在采样瞬时才有意义，同时，假设所以又可表示为 （6-3）2. 采样信号的拉氏变换对采样信号进行拉氏变换，可
2、得 (6-4)根据拉氏变换的位移定理，有 所以，采样信号的拉氏变换 (6-5)3. 连续信号与采样信号频谱的关系 由于采样信号只包括连续信号采样点上的信息，所以采样信号的频谱与连续信号的频谱相比，要发生变化。 式(6-2)表明，理想单位脉冲序列是周期函数，可以展开为傅氏级数的形式，即 (6-6)式中，为采样角频率；是傅氏系数，其值为由于在区间中，仅在时有值，且，所以 （6-7）将式(6-7)代入式(6-6)，得 （6-8）再把式(6-8)代入式(6-1)，有 （6-9）上式两边取拉氏变换，由拉氏变换的复数位移定理，得到 (6-10)令，得到采样信号的傅氏变换 （6-11)其中，为非周期连续信号
3、的傅氏变换，即 （6-12）它的频谱是频域中的非周期连续信号，如图6-7所示，其中为频谱中的最大角频率。图6-7 连续信号频谱与采样信号频谱()的比较采样信号的频谱，是连续信号频谱以采样角频率为周期的无穷多个频谱的延拓，如图6-7所示。其中，的频谱称为采样频谱的主分量，如曲线1所示，它与连续频谱形状一致，仅在幅值上变化了，其余频谱()都是由于采样而引起的高频频谱。图6-7表明的是采样角频率大于两倍的情况，采样频谱中没有发生频率混叠，利用图6-8所示的理想低通滤波器可恢复原来连续信号的频谱。如果加大采样周期，采样角频率相应减小，当时，采样频谱的主分量与高频分量会产生频谱混叠，如图6-9所示。这时
4、，即使采用理想滤波器也无法恢复原来连续信号的频谱。因此，要从采样信号中完全复现出采样前的连续信号，对采样角频率应有一定的要求。图6-8 理想低通滤波器的频率特性图6-9 连续信号频谱与采样信号频谱()的比较4. 香农采样定理 香农采样定理指出：如果采样器的输入信号具有有限带宽，即有直到的频率分量，若要从采样信号中完整地恢复信号，则模拟信号的采样角频率，或采样周期必须满足下列条件： (6-13)由图6-7可见，在满足香农采样定理的条件下，要想不失真地将采样器输出信号复现成原来的连续信号，需要采用图6-8所示的理想低通滤波器，然而理想低通滤波器物理上不可实现，因此工程上常用零阶保持器。在设计离散系
5、统时，香农采样定理是必须严格遵守的一条准则，它指明了从采样信号中不失真地复现原连续信号的采样周期T的上界或采样角频率的下界。6.2.2 零阶保持器 为了对连续信号进行控制，需要使用保持器将控制器输出的离散信号转换为连续信号。在工程实践中，普遍采用零阶保持器。零阶保持器把前一采样时刻的采样值一直保持到下一采样时刻到来之前。给零阶保持器输入一个理想单位脉冲，则其单位脉冲响应函数是幅值为1，持续时间为T的矩形脉冲，如图6-10所示，它可分解为两个单位阶跃函数的和，即图6-10 零阶保持器的脉冲响应 （6-14）对脉冲响应函数(t)取拉氏变换，可得零阶保持器的传递函数 （6-15）在式(6-15)中，
6、令，得零阶保持器的频率特性： (6-16)若以采样角频率来表示，则上式可表示为 （6-17） 根据上式，可画出零阶保持器的幅频特性和相频特性如图6-11所示。由图可见，零阶保持器具有如下特性： （1） 低通特性：由于幅频特性的幅值随频率值的增大而迅速衰减，说明零阶保持器基本上是一个低通滤波器，但与理想滤波器特性相比，在时，其幅值只有初值的637。零阶保持器除允许主要频谱分量通过外，还允许部分高频频谱分量通过，从而造成数字控制系统的输出频谱在高频段存在纹波。图6-11 零阶保持器的频率特性 （2） 相角滞后特性：由相频特性可见，零阶保持器要产生相角滞后，且随的增大而加大，在处，相角滞后可达，从而使系统的稳定性变差。图6-12 零阶保持器的输出特性零阶保持器使采样信号变成阶梯信号。如果把阶梯信号的中点连接起来，如图6-12中点划线所示，则可以得到与连续信号形状一致但在时间上落后的响应，相当于给系统增加了一个延迟时间为的延迟环节，使系统总的相角滞后增大，对系统的稳定性不利，这与前面零阶保持器相频分析结果是一致的。
