福建师范大学21春《近世代数》作业一满分答案1. 设f∈L(R)且∫-∞∞fdm≠0，a是一确定的实数令 x∈R 试证：设f∈L(R)且∫-∞∞fdm≠0，a是一确定的实数令 x∈R 试证：设，则存在N＞0，使当x＞N 时 于是 故 2. 设F(T)=δ(t-t0)，则傅氏变换F[f(t)]=( ) A．1 B．2π C．eiωt0 D．e-iωt0设F(T)=δ(t-t0)，则傅氏变换F[f(t)]=( ) A．1 B．2π C．eiωt0 D．e-iωt0D3. 某大学数学测验，抽得20个学生的分数平均数某特殊润滑油容器的容量为正态分布，其方差为0．03升，在a某特殊润滑油容器的容量为正态分布，其方差为0．03升，在a=0．01的显著性水平下，抽取样本10个，测得样本标准差为s=0．246，检验假设： H0：σ2=0．03，H1：σ2≠0．03．正确答案：设总体X为润滑油容器的容量则X～N(μσ2)σ02=0．03n=10a=0．01s=0．246．用χ2的检验法检验H0=σ2=σ02=0．03H1：σ2≠02拒绝域为W={χ2＞χa／222(n一1)Uχ2＜χa／22(n一1)}．查χ2分布表得χ0.0052(9)=23．589χ0.9952(9)=1．735．计算χ2值由于1．735＜18．15＜23．589故接受H0即σ2=0．03．设总体X为润滑油容器的容量,则X～N(μ,σ2),σ02=0．03,n=10,a=0．01,s=0．246．用χ2的检验法,检验H0=σ2=σ02=0．03,H1：σ2≠02,拒绝域为W={χ2＞χa／22,2(n一1)Uχ2＜χa／22(n一1)}．查χ2分布表得χ0.0052(9)=23．589,χ0.9952(9)=1．735．计算χ2值由于1．735＜18．15＜23．589,故接受H0,即σ2=0．03．4. 叙述梯度、散度、旋度的定义及其在直角坐标下的表示式．叙述梯度、散度、旋度的定义及其在直角坐标下的表示式．5. 试将下列微分方程组化为等价的微分方程，并求出方程的解：试将下列微分方程组化为等价的微分方程，并求出方程的解：由第2式得x=4y+y'，再取导数有x'=4y'+y"．将得到的x，x'代入第1式便得4y'+y"=3(4y+y')-10y，y"+y'-2y=0． 再利用第2式及初值条件知y'(0)=8-4=4． 最后得到等价的微分方程为 y"+y'-2y=0，y(0)=1，y'(0)=4． 上面二阶方程的特征方程为λ2+λ-2=(λ+2)(λ-1)=0，有根λ=-2，1． 方程的通解为y=c1e-2t+c2et．满足初值条件的解为y=-e-2t+2et及x=-2e-2t+10et．$由第1式有，．代入第2式得 -x+tx'+t2x"=-2x+x+tx'．t2x"=0． 等价的微分方程为x"=0． 它有通解x=c1t+c2，． 或由第2式有，．代入第1式可得 ，t2(ty"+2y')=0 等价的微分方程为ty"+2y'=0． 令z=y'，可化为tz'+2z=0，，有．通解为．进而 6. 求二次曲线2χ2＋4χy＋5y2－6χ－8y－100＝0的主轴．求二次曲线2χ2＋4χy＋5y2－6χ－8y－100＝0的主轴．正确答案：主轴为6χ＋12y－11＝0和2χ－y－2＝0．主轴为6χ＋12y－11＝0和2χ－y－2＝0．7. 对事件A，B，说明下列关系式相互等价： (1); (2) (3)A+B=B; (4)AB=A; (5)对事件A，B，说明下列关系式相互等价： (1); (2) (3)A+B=B; (4)AB=A; (5)用文氏图表示事件A，B的关系即可看出(1)、(3)、(4)、(5)是相互等价的，即 又有 于是可得(2)与(1)、(3)、(4)、(5)也是相互等价的。
8. 试证明： 设{fn(x)}是定义在R1上的实值函数列，则 (i); (ii)．试证明： 设{fn(x)}是定义在R1上的实值函数列，则 (i); (ii)．[证明] (i)记En,β={x∈R1：fn(x)≥β}．若x0属于左端，即，则存在β：β＞α，以及n0，使得fn(x0)≥β(n≥n0)，即，x0属于右端；若x0属于右端，即存在β：β＞α，使得.这说明存在n0，x0∈En,β(n≥n0)，即fn(x0)≥β(n≥n0)．从而有，x0属于左端． (ii)若x0属于右端，则存在k0∈N，使得x0属于{En,k0}中的无穷多个(En,k0={x∈R1：fn(x)＞1/k0})，即存在{nj}，使得fnj(x0)＞1/k0，故.反向证略． 9. 设f(x)和g(x)为二随机变量的概率密度，则( )为某随机变量的概率密 度． (a) f(x)g(x) (b) (c) 3f(x)+2g设f(x)和g(x)为二随机变量的概率密度，则( )为某随机变量的概率密 度． (a) f(x)g(x) (b) (c) 3f(x)+2g(x) (d) 2f(x)+g(x)-2B10. 已知三阶行列式，元素a22的余子式是______，a31的代数余子式是______，按第3列的展开式为______．已知三阶行列式，元素a22的余子式是______，a31的代数余子式是______，按第3列的展开式为______．$(-1)3+1$11. 求微分方程x"+kx=0的通解．求微分方程x"+kx=0的通解．特征方程为λ3+k=0． 当k=0时，有通解为：x=C1+C2t+C3t2， 当k≠0时，特征根分别为通解为 12. 某橡胶厂采用两种配方生产橡胶，现测得两种配方生产的橡胶伸长率如下： 方案甲 540 533某橡胶厂采用两种配方生产橡胶，现测得两种配方生产的橡胶伸长率如下： 方案甲540533525520545532529541534 方案乙565577580575556542560532570561 设两总体都服从正态分布，均值和方差均未知，问两种配方伸长率的方差有无显著差异(α=0.1)?有显著差异13. [习题1.24] 证明：a，b，C不共面当且仅当a×b，b×c，c×a不共面。
[习题1.24] 证明：a，b，C不共面当且仅当a×b，b×c，c×a不共面a，b，c不共面 由于(a×b)×(b×c)-[(a×b)·c]b-[a×b)·b]c=[(a×b)·c]b 所以 [(a×b)×(b×c)]·(c×a)=[(a×b)·c]b·(c×a) =[(a×b)·c][(c×a)·b] =[(a×b)·c]2≠0 得证a×b，b×c，c×a不共面 14. 从数集{1，2，…，20}中选3个数的集合如果没有2个相连的数字在同一个集合中，那么能够形成多少3个数的集合?从数集{1，2，…，20}中选3个数的集合如果没有2个相连的数字在同一个集合中，那么能够形成多少3个数的集合?设g(20，3)为这样3个数的集合数对每个这样的集合，或者含有20或者不含20，如果含有20，则另两个元素在1，2，…，18中选且不相连，有种选法如果不含20，则三个元素均在1，2，…，19中选且无2个数相连，这样集合数为g(19，3)因此 同样，g(19，3)个集合又可分为包含19与不包含19两类，则 因此 15. 在一个班级的50名学生中，有21名在高等数学考试中取得了优秀成绩，有26名学生性代数考试中取得了优秀成绩在一个班级的50名学生中，有21名在高等数学考试中取得了优秀成绩，有26名学生性代数考试中取得了优秀成绩，假如有17名学生在此两科考试中都没有取得优秀成绩，问有多少名学生在两科考试中都取得了优秀成绩?并试用文氏图画出结果．设在高等数学考试中取得优秀成绩的学生为集合A，性代数考试中取得优秀成绩的学生为集合B，根据题意，有 |A∪B|=50-17=33 根据容斥原理 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B| |A∩B|=|A|+|B|-|A∪B|=21+26-33=14 故在两科考试中都取得优秀成绩的学生人数为14人，文氏图如下： 16. 某公司用自动灌装机灌装营养液，设自动灌装机的正常灌装量ξ～N(100，1.22)，现测量9支灌装样品的灌装量(单位：g)某公司用自动灌装机灌装营养液，设自动灌装机的正常灌装量ξ～N(100，1.22)，现测量9支灌装样品的灌装量(单位：g)为： 99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，102.1，100.5，99.5 问在显著性水平α=0.05下，已知σ2=1.44． 因为ξ～N(100，1.44)，n=9． ①提出假设．H0：μ=μ0=100． ②找统计量．． ③求临界值．对给定的α=0.05，查正态分布表得，满足P(|U|≥uα/2)=0.05的临界值为uα/2=1.96． ④求观察值．由，计算得． ⑤作出判断．因为|U|=0.5＜1.96，所以接受H0，即认为灌装量符合标准．$已知期望μ=100，因为ξ～N(100，1.44)，n=9． ①提出假设．H0：． ②找统计量．． ③求临界值．对给定的α=0.05，查χ2分布表，求出临界值 ④求观察值．计算，得出． ⑤作出判断．由于2.7＜10.17＜19，因此接受H0，即认为灌装精度在标准范围内． 17. 证明空间P1(5，3，-2)，P2(4，1，-1)与P3(2，-3，1)三点共线．证明空间P1(5，3，-2)，P2(4，1，-1)与P3(2，-3，1)三点共线．由于向量因此向量平行，即P3位于过P1，P2的直线上，也就是P1，P2，P3三点共线．18. 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线设直线的方向向量为n，则可取 再在直线上取一点，例如，可令z=0，得 于是，直线的对称式方程 参数式方程为 19. 如果n阶矩阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵．证明：如果A为幂等矩阵，且A～B，则B是幂等矩阵．如果n阶矩阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵．证明：如果A为幂等矩阵，且A～B，则B是幂等矩阵．因A～B，则存在非奇异矩阵P，使得P-1AP=B，从而B2=P-1A2P-1=AP=B．由幂等矩阵的定义可知，B也是幂等矩阵．20. 求由下列方程所确定的隐函数的导数： (1) (2)x^2 (3) (4) (5) (6)求由下列方程所确定的隐函数的导数： (1) (2)x^2 (3) (4) (5) (6)令 F(x，y)＝x2y+3x4y3-4， 因为 所以 。